導(dǎo)言：作為寫作愛好者，不可錯(cuò)過(guò)為您精心挑選的10篇數(shù)學(xué)思想論文，它們將為您的寫作提供全新的視角，我們衷心期待您的閱讀，并希望這些內(nèi)容能為您提供靈感和參考。

篇1

第一，在學(xué)習(xí)新內(nèi)容時(shí)要滲透數(shù)學(xué)思想。在設(shè)計(jì)教案時(shí)教師要有意識(shí)地增加數(shù)學(xué)思想的啟發(fā)，將數(shù)學(xué)思想與新的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合起來(lái)，避免只講知識(shí)表面不講數(shù)學(xué)原理，只講習(xí)題不講思想。在講授新內(nèi)容時(shí)，不能直接將相關(guān)概念和定理告訴學(xué)生，而是通過(guò)一定的方法引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生逐步探索、猜測(cè)，慢慢接近，掌握知識(shí)形成過(guò)程中的相關(guān)思想，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。這樣學(xué)生可以發(fā)揮數(shù)學(xué)思維能力去推理，對(duì)所學(xué)知識(shí)理解得更加透徹，記憶也更加深刻。

第二，在解題中滲透數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)離不開解題，但是解題的方法不止一種，多一種方法就可能多一種數(shù)學(xué)思想。如蘇教版的練習(xí)冊(cè)中有這樣一道題：1998×3.14＋199.8×31.4＋19.98×314。先讓學(xué)生觀察數(shù)字的關(guān)聯(lián)性，學(xué)生會(huì)很容易看出數(shù)值1998小數(shù)點(diǎn)在往左移動(dòng)，3.14的小數(shù)點(diǎn)在往右移動(dòng)，兩個(gè)數(shù)值相乘，根據(jù)小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的知識(shí)，學(xué)生能夠推斷出三個(gè)乘積是相等的，無(wú)論它們?cè)趺醋儎?dòng)，小數(shù)點(diǎn)后面一共是兩位，只要算出1998×3.14再乘以3就可以了。這個(gè)解題思路實(shí)際上滲透了劃歸的數(shù)學(xué)思想。教師要在解題之前就開始向?qū)W生滲透，解題之后還要進(jìn)行深化點(diǎn)睛，久而久之，學(xué)生就掌握了這種方法。

第三，經(jīng)常講，反復(fù)講。數(shù)學(xué)思想滲透是需要潛移默化的，教師要堅(jiān)持這一過(guò)程，在講課時(shí)不斷舉一反三，幫助學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)。

第四，要引導(dǎo)學(xué)生從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，鼓勵(lì)學(xué)生將課堂中學(xué)到的思想運(yùn)用到生活中，將生活中的問(wèn)題帶到課堂上。

篇2

二、用辯證唯物主義觀點(diǎn)對(duì)學(xué)生進(jìn)行教育

在數(shù)學(xué)中到處充滿著辯證的方法和思維，中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)大綱指出:“要用辯證唯物主義觀點(diǎn)來(lái)闡明教學(xué)的內(nèi)容，這樣學(xué)生既有利于學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)生又有利于形成唯物主義世界觀。”在數(shù)學(xué)的教學(xué)中可用以下幾點(diǎn)來(lái)滲透辯證唯物主義的觀點(diǎn)。

1．科學(xué)是在不斷發(fā)展的，任何事物都不是一成不變的，人們的認(rèn)識(shí)水平也是在不斷提高的。數(shù)的擴(kuò)充、代數(shù)與幾何的結(jié)合，某些定理、推論的推廣，發(fā)展的觀點(diǎn)由此得到體現(xiàn)。

2．物質(zhì)的根本屬性是運(yùn)動(dòng)。在數(shù)學(xué)當(dāng)中，面可以看成點(diǎn)線運(yùn)動(dòng)的軌跡，旋轉(zhuǎn)體也是平面圖形運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，直線是向兩邊無(wú)限延伸的，在教學(xué)的過(guò)程當(dāng)中強(qiáng)調(diào)這些，使同學(xué)們?cè)跐撘颇校邮艿睫q證法中運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)。

3．在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，正數(shù)與負(fù)數(shù)、有理數(shù)與無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)與虛數(shù)等，這些不同的概念是對(duì)立的，同時(shí)又是統(tǒng)一的。加與減的轉(zhuǎn)化，乘與除的統(tǒng)一，乘方與開方的互逆，在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)這些數(shù)學(xué)規(guī)律，讓學(xué)生從中接受到矛盾與對(duì)立統(tǒng)一及相互轉(zhuǎn)化觀點(diǎn)。

4．將辯證唯物主義觀點(diǎn)滲透于教學(xué)中，數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐又反過(guò)來(lái)作用與實(shí)踐，同時(shí)在數(shù)學(xué)教學(xué)中，也要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)精神的培養(yǎng)，加強(qiáng)德育的滲透，讓學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)中的辯證關(guān)系，從而初步形成辯證唯物主義的觀點(diǎn)。

篇3

數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)論文參考文獻(xiàn)：

[1]范璐璐.解析數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)活動(dòng)與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)[J].中國(guó)教育學(xué)刊，2014，（06）.

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[3]鄒益群.試論數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)活動(dòng)與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)[J].才智，2015，（15）.

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篇4

分類應(yīng)該按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，也就是每次分類不能使用幾個(gè)不同的分類根據(jù)。例如：把三角形分為等邊三角形和不等邊三角形是按邊分類的。但是直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形，這種分類就不正確，此種分類既是按邊分類也按角分類。

2.相斥性原則

分類后的每一個(gè)子項(xiàng)應(yīng)具備互不相容的原則，也就是不能出現(xiàn)有一項(xiàng)既屬于這一類又屬于那一類。例如學(xué)校舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)，規(guī)定每個(gè)學(xué)生只能參加一項(xiàng)比賽，初一三班的6名同學(xué)報(bào)名參加200和400米的賽跑，其中有4人參加200米比賽，3人參加400米比賽，那么就有1人既參加200米又參加400米比賽，這道題目的分類就違背了相斥性原則。

3.完善性原則

分類應(yīng)當(dāng)完善，即劃分后子項(xiàng)的總和應(yīng)當(dāng)與母項(xiàng)相等。如：有人把實(shí)數(shù)分為正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù)兩類，這個(gè)分類是不完善的，因?yàn)樽禹?xiàng)的總和小于母項(xiàng)。事實(shí)上實(shí)數(shù)中還包括零。

4.遞進(jìn)性原則

分類后的子項(xiàng)還可以繼續(xù)再進(jìn)一步分類，直到不能再分為止，層次分明。例如實(shí)數(shù)可以分為無(wú)理數(shù)和有理數(shù)，有理數(shù)還可以分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，整數(shù)又可以分為正整數(shù)，零和負(fù)整數(shù)。我們?cè)谶\(yùn)用分類討論的思想解決問(wèn)題時(shí)，首先要審清題意，認(rèn)真分析可能產(chǎn)生的不同因素，進(jìn)行討論時(shí)要確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，每一次分類只能按照一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)分，不能重復(fù)也不能遺漏，另外還要逐一認(rèn)真解答。

二、分類思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1.概念分類

例如在學(xué)習(xí)完負(fù)數(shù)、有理數(shù)的概念后，針對(duì)于不同的標(biāo)準(zhǔn)，有理數(shù)有多種的分類方法，若按定義來(lái)分類有理數(shù)可以分為分?jǐn)?shù)和整數(shù)，分?jǐn)?shù)又可以分為正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，整數(shù)又可以分為正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和零；若按正負(fù)來(lái)分類有理數(shù)可以分為正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和零，正有理數(shù)又分為正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)，負(fù)有理數(shù)又分為負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)。

2.在解題方法上分類討論

例如：解方程∣x+3∣+∣4-x∣=7解析：對(duì)于絕對(duì)值問(wèn)題，往往要對(duì)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的內(nèi)容分為正數(shù)、負(fù)數(shù)、零三種，在此方程中出現(xiàn)兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值；∣x+3∣和∣4-x∣，∣x+3∣應(yīng)分為x=-3，x＜-3,x＞-3；∣4-x∣應(yīng)分為x=4，x＜4，x＞4，在數(shù)軸上可見該題應(yīng)劃分為三種情形：①x＜-3，②-3≤x≤4，③x＞4。解：①若x＜-3，化簡(jiǎn)-（x+3）+4-x=7得x=-3，與x＜-3矛盾，所以x＜-3時(shí)方程無(wú)解。②若-3≤x≤4，原方程x+3+4-x=7恒成立，滿足-3≤x≤4的一切實(shí)數(shù)x都是方程的解。③若x＞4，化為x+3-（4-x）=7，得x=4，與x＞4矛盾，所以x＞4時(shí)無(wú)解。綜上所述，原方程的解為滿足-3≤x≤4。3.在幾何中圖形位置關(guān)系不確定的分類：例如：已知a的絕對(duì)值是b絕對(duì)值的3倍，且在數(shù)軸上a、b位于原點(diǎn)的同側(cè)，兩點(diǎn)之間的距離為16，求這兩個(gè)數(shù)；若數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)呢？分析：從題目中尋找關(guān)鍵的解題信息，“數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的同側(cè)”意味著甲乙兩數(shù)符號(hào)相同。那么究竟是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，我們應(yīng)該用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決這一問(wèn)題。解：由題意得：∣a∣=3∣b∣,∣a-b∣=16

篇5

小學(xué)數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)教學(xué)的顯性知識(shí)系統(tǒng)，許多重要的法則、公式，教材中只能看到漂亮的結(jié)論，許多例題的解法，也只能看到巧妙的處理，而看不到由特殊實(shí)例的觀察、試驗(yàn)、分析、歸納、抽象概括或探索推理的心智活動(dòng)過(guò)程。因此，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的隱性知識(shí)系統(tǒng)，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)包括顯性和隱性兩方面知識(shí)的教學(xué)。如果教師在教學(xué)中，僅僅依照課本的安排，沿襲著從概念、公式到例題、練習(xí)這一傳統(tǒng)的教學(xué)過(guò)程，即使教師講深講透，并要求學(xué)生記住結(jié)論，掌握解題的類型和方法，這樣培養(yǎng)出來(lái)的學(xué)生也只能是“知識(shí)型”、“記憶型”的，將完全背離數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)。

在認(rèn)知心理學(xué)里，思想方法屬于元認(rèn)知范疇，它對(duì)認(rèn)知活動(dòng)起著監(jiān)控、調(diào)節(jié)作用，對(duì)培養(yǎng)能力起著決定性的作用。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的“就意味著解題”（波利亞語(yǔ)），解題關(guān)鍵在于找到合適的解題思路，數(shù)學(xué)思想方法就是幫助構(gòu)建解題思路的指導(dǎo)思想。因此，向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的元認(rèn)知水平，是培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的重要途徑。

數(shù)學(xué)知識(shí)本身是非常重要的，但它并不是惟一的決定因素，真正對(duì)學(xué)生以后的學(xué)習(xí)、生活和工作長(zhǎng)期起作用，并使其終生受益的是數(shù)學(xué)思想方法。未來(lái)社會(huì)將需要大量具有較強(qiáng)數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)素質(zhì)的人才。21世紀(jì)國(guó)際數(shù)學(xué)教育的根本目標(biāo)就是“問(wèn)題解決”。因此，向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，是未來(lái)社會(huì)的要求和國(guó)際數(shù)學(xué)教育發(fā)展的必然結(jié)果。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)是全面提高學(xué)生素質(zhì)，其中最重要的因素是思維素質(zhì)，而數(shù)學(xué)思想方法就是增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念，形成良好思維素質(zhì)的關(guān)鍵。如果將學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)看作一個(gè)坐標(biāo)系，那么數(shù)學(xué)知識(shí)、技能就好比橫軸上的因素，而數(shù)學(xué)思想方法就是縱軸的內(nèi)容。淡化或忽視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，不僅不利于學(xué)生從縱橫兩個(gè)維度上把握數(shù)學(xué)學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，也必將影響其能力的發(fā)展和數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高。因此，向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的新視角，是進(jìn)行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的突破口。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)滲透哪些數(shù)學(xué)思想方法

古往今來(lái)，數(shù)學(xué)思想方法不計(jì)其數(shù)，每一種數(shù)學(xué)思想方法都閃爍著人類智慧的火花。一則由于小學(xué)生的年齡特點(diǎn)決定有些數(shù)學(xué)思想方法他們不易接受，二則要想把那么多的數(shù)學(xué)思想方法滲透給小學(xué)生也是不大現(xiàn)實(shí)的。因此，我們應(yīng)該有選擇地滲透一些數(shù)學(xué)思想方法。筆者認(rèn)為，以下幾種數(shù)學(xué)思想方法學(xué)生不但容易接受，而且對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高有很好的促進(jìn)作用。

1.化歸思想

化歸思想是把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題通過(guò)某種轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，把一個(gè)較復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個(gè)較簡(jiǎn)單的問(wèn)題。應(yīng)當(dāng)指出，這種化歸思想不同于一般所講的“轉(zhuǎn)化”、“轉(zhuǎn)換”。它具有不可逆轉(zhuǎn)的單向性。

例1狐貍和黃鼠狼進(jìn)行跳躍比賽，狐貍每次可向前跳41／2米，黃鼠狼每次可向前跳23／4米。它們每秒種都只跳一次。比賽途中，從起點(diǎn)開始，每隔123／8米設(shè)有一個(gè)陷阱，當(dāng)它們之中有一個(gè)掉進(jìn)陷阱時(shí)，另一個(gè)跳了多少米？

這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，但通過(guò)分析知道，當(dāng)狐貍（或黃鼠狼）第一次掉進(jìn)陷阱時(shí)，它所跳過(guò)的距離即是它每次所跳距離41／2（或23／4）米的整倍數(shù)，又是陷阱間隔123／8米的整倍數(shù)，也就是41／2和123／8的“最小公倍數(shù)”（或23／4和123／8的“最小公倍數(shù)”）。針對(duì)兩種情況，再分別算出各跳了幾次，確定誰(shuí)先掉入陷阱，問(wèn)題就基本解決了。上面的思考過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題通過(guò)分析轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個(gè)求“最小公倍數(shù)”的問(wèn)題，即把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，這種化歸思想正是數(shù)學(xué)能力的表現(xiàn)之一。

2.數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是充分利用“形”把一定的數(shù)量關(guān)系形象地表示出來(lái)。即通過(guò)作一些如線段圖、樹形圖、長(zhǎng)方形面積圖或集合圖來(lái)幫助學(xué)生正確理解數(shù)量關(guān)系，使問(wèn)題簡(jiǎn)明直觀。

例2一杯牛奶，甲第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就這樣每次都喝了上一次剩下的一半。甲五次一共喝了多少牛奶？

附圖{圖}

此題若把五次所喝的牛奶加起來(lái)，即1／2＋1／4＋1／8＋1／16＋1／32就為所求，但這不是最好的解題策略。我們先畫一個(gè)正方形，并假設(shè)它的面積為單位“1”，由圖可知，1－1／32就為所求，這里不但向?qū)W生滲透了數(shù)形結(jié)合思想，還向?qū)W生滲透了類比的思想。

3.變換思想

變換思想是由一種形式轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N形式的思想。如解方程中的同解變換，定律、公式中的命題等價(jià)變換，幾何形體中的等積變換，理解數(shù)學(xué)問(wèn)題中的逆向變換等等。

例3求1／2＋1／6＋1／12＋1／20＋……＋1／380的和。

仔細(xì)觀察這些分母，不難發(fā)現(xiàn)：2＝1×2，6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5……380＝19×20，再用拆分的方法，考慮和式中的一般項(xiàng)

a[,n]＝1／n×（n＋1）＝1／n－1／n＋1

于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)換為如下求和形式：

原式＝1／1×2＋1／2×3＋1／3×4＋1／4×5＋……＋1／19×20

＝（1－1／2）＋（1／2－1／3）＋（1／3－1／4）＋（1／4－1／5）＋……＋（1／19－1／20）

＝1－1／20

＝19／20

4.組合思想

組合思想是把所研究的對(duì)象進(jìn)行合理的分組，并對(duì)可能出現(xiàn)的各種情況既不重復(fù)又不遺漏地一一求解。

例4在下面的乘法算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求這個(gè)算式。

從小愛數(shù)學(xué)

×4

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學(xué)數(shù)愛小從

分析：由于五位數(shù)乘以4的積還是五位數(shù)，所以被乘數(shù)的首位數(shù)字“從”只能是1或2，但如果“從”＝1，“學(xué)”×4的積的個(gè)位應(yīng)是1，“學(xué)”無(wú)解。所以“從”＝2。

在個(gè)位上，“學(xué)”×4的積的個(gè)位是2，“學(xué)”＝3或8。但由于“學(xué)”又是積的首位數(shù)字，必須大于或等于8，所以“學(xué)”＝8。

在千位上，由于“小”×4不能再向萬(wàn)位進(jìn)位，所以“小”＝1或0。若“小”＝0，則十位上“數(shù)”×4＋3（進(jìn)位）的個(gè)位是0，這不可能，所以“小”＝1。

在十位上，“數(shù)”×4＋3（進(jìn)位）的個(gè)位是1，推出“數(shù)”＝7。

在百位上，“愛”×4＋3（進(jìn)位）的個(gè)位還是“愛”，且百位必須向千位進(jìn)3，所以“愛”＝9。

故欲求乘法算式為

21978

×4

──────

87912

上面這種分類求解方法既不重復(fù)，又不遺漏，體現(xiàn)了組合思想。

此外，還有符號(hào)思想、對(duì)應(yīng)思想、極限思想、集合思想等，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中都應(yīng)注意有目的、有選擇、適時(shí)地進(jìn)行滲透。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)如何加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透

1.提高滲透的自覺性

數(shù)學(xué)概念、法則、公式、性質(zhì)等知識(shí)都明顯地寫在教材中，是有“形”的，而數(shù)學(xué)思想方法卻隱含在數(shù)學(xué)知識(shí)體系里，是無(wú)“形”的，并且不成體系地散見于教材各章節(jié)中。教師講不講，講多講少，隨意性較大，常常因教學(xué)時(shí)間緊而將它作為一個(gè)“軟任務(wù)”擠掉。對(duì)于學(xué)生的要求是能領(lǐng)會(huì)多少算多少。因此，作為教師首先要更新觀念，從思想上不斷提高對(duì)滲透數(shù)學(xué)思想方法重要性的認(rèn)識(shí)，把掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和滲透數(shù)學(xué)思想方法同時(shí)納入教學(xué)目的，把數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的要求融入備課環(huán)節(jié)。其次要深入鉆研教材，努力挖掘教材中可以進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法滲透的各種因素，對(duì)于每一章每一節(jié)，都要考慮如何結(jié)合具體內(nèi)容進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法滲透，滲透哪些數(shù)學(xué)思想方法，怎么滲透，滲透到什么程度，應(yīng)有一個(gè)總體設(shè)計(jì)，提出不同階段的具體教學(xué)要求。

2.把握滲透的可行性

篇6

二、結(jié)合課程特點(diǎn)，適時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想

與數(shù)學(xué)課程的特點(diǎn)相適應(yīng)，數(shù)學(xué)思想的滲透也需要一定的手段、方法與技巧，這就是在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中適時(shí)滲透。

1.在知識(shí)的形成過(guò)程中，如概念形成、結(jié)論推導(dǎo)中進(jìn)行滲透。以計(jì)量單位的學(xué)習(xí)為例，如果教師在相關(guān)知識(shí)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，根據(jù)教學(xué)實(shí)際適當(dāng)展示該計(jì)量單位的引入過(guò)程及其所運(yùn)用或體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，對(duì)于學(xué)生順利掌握該知識(shí)及培養(yǎng)探究品質(zhì)與精神是非常有益的。以“面積與面積單位”的教學(xué)為例，在學(xué)生無(wú)法直接比較“兩個(gè)長(zhǎng)方形面積的大小”時(shí)，適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生“用別的方法試一試”，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到“比較兩個(gè)圖形面積的大小，要用統(tǒng)一的面積單位來(lái)測(cè)量”，從而引出與“形”直接相關(guān)的常用面積單位平方厘米、平方分米和平方米。這又是數(shù)形結(jié)合思想的一個(gè)實(shí)例。

2.在問(wèn)題解決過(guò)程中適時(shí)滲透。數(shù)學(xué)領(lǐng)域的問(wèn)題解決，既涉及運(yùn)用抽象、歸納、類比、演繹等邏輯思維形式，又運(yùn)用直覺、靈感等非邏輯思維形式。思維形式的豐富性，實(shí)際也是數(shù)學(xué)思想的反復(fù)運(yùn)用與體現(xiàn)的過(guò)程，借此可培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型、形成數(shù)學(xué)思想、提升思維品質(zhì)等。如教學(xué)“搭配問(wèn)題”，通過(guò)展示學(xué)生的搭配方案與方案比較，可使學(xué)生逐步領(lǐng)會(huì)到排列組合思想與邏輯推理思想的初步運(yùn)用。

3.在復(fù)習(xí)與小結(jié)中提煉。教師引領(lǐng)學(xué)生對(duì)已學(xué)章節(jié)進(jìn)行的復(fù)習(xí)，不僅是對(duì)章節(jié)內(nèi)容與知識(shí)的清晰化、全面化進(jìn)行再認(rèn)識(shí)，更應(yīng)是對(duì)蘊(yùn)涵其中的數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)與提煉并深化，其目的在于引導(dǎo)學(xué)生深刻認(rèn)知相關(guān)知識(shí)的產(chǎn)生、展開、證明、運(yùn)用及其實(shí)質(zhì)，從宏觀角度對(duì)知識(shí)進(jìn)行再認(rèn)識(shí)，亦便于其后學(xué)習(xí)過(guò)程中的知識(shí)遷移。例如，教學(xué)“梯形面積”單元完畢后，教師即應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生以此為契機(jī)回憶平行四邊形及三角形面積公式的推導(dǎo)方法，清楚認(rèn)識(shí)蘊(yùn)涵其中的轉(zhuǎn)化思想。

篇7

用字母表示數(shù)是由特殊到一般的抽象，是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的代數(shù)方法。初一教材第一章代數(shù)初步知識(shí)的引言中，就蘊(yùn)涵用字母表示數(shù)的思想，先讓學(xué)生在引言實(shí)例中計(jì)算一些具體的數(shù)值，啟發(fā)學(xué)生歸納出用字母表示數(shù)的思想，認(rèn)識(shí)到字母表示數(shù)具有問(wèn)題的一般性，也便于問(wèn)題的研究和解決，由此產(chǎn)生從算術(shù)到代數(shù)的認(rèn)識(shí)飛躍。

學(xué)生領(lǐng)會(huì)了用字母表示數(shù)的思想，就可順利地進(jìn)行以下內(nèi)容的教學(xué)：（1）用字母表示問(wèn)題（代數(shù)式概念，列代數(shù)式）；（2）用字母表示規(guī)律（運(yùn)算定律，計(jì)算公式，認(rèn)識(shí)數(shù)式通性的思想）；（3）用字母表示數(shù)來(lái)解題（適應(yīng)字母式問(wèn)題的能力）。因此，用字母表示數(shù)的思想，對(duì)指導(dǎo)學(xué)生學(xué)好代數(shù)入門知識(shí)能起關(guān)鍵作用，并為后續(xù)代數(shù)學(xué)習(xí)奠定了基矗

2分類思想

數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究中，常常根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，把它分為若干種情形，有利問(wèn)題的研究和解決，這就是數(shù)學(xué)分類的思想。初一教材中的分類思想主要體現(xiàn)在：（1）有理數(shù)的分類；（2）絕對(duì)值的分類；（3）整式分類。教學(xué)中，要向?qū)W生講請(qǐng)分類的要求（不重、不漏），分類的方法（相對(duì)什么屬性為類），使學(xué)生認(rèn)識(shí)分類思想的意義和作用，只有通過(guò)分類思想的教學(xué)，才能使學(xué)生真正明確：一個(gè)字母，在沒有指明取值范圍時(shí)，可以表示大于零、等于零、小于零的三種情形。這是學(xué)生首次認(rèn)識(shí)一個(gè)有理數(shù)的取值討論的飛躍，不要出現(xiàn)認(rèn)為一個(gè)字母就是正數(shù)、一個(gè)字母的相反數(shù)就是個(gè)負(fù)數(shù)的片面認(rèn)識(shí)。這樣，學(xué)生做一些有關(guān)分類討論的題也就不易出錯(cuò)，使學(xué)生養(yǎng)成運(yùn)用分類思想解題的習(xí)慣，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)分析問(wèn)題的能力。

3．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想

將一個(gè)代數(shù)問(wèn)題用圖形來(lái)表示，或把一個(gè)幾何問(wèn)題記為代數(shù)的形式，通過(guò)數(shù)與形的結(jié)合，可使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于解決的情形，常稱為數(shù)形結(jié)合的思想。初一教材第二章的數(shù)軸就體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。教學(xué)時(shí)，要講清數(shù)軸的意義和作用（使學(xué)生明確數(shù)軸建立數(shù)與形之間的聯(lián)系的合理性）。任意一個(gè)有理數(shù)可用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，從這個(gè)數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn)出發(fā)，利用數(shù)軸表示數(shù)的點(diǎn)的位置關(guān)系，使有理數(shù)的大小，有理數(shù)的分類，有理數(shù)的加法運(yùn)算、乘法運(yùn)算都能直觀地反映出來(lái)，也就是借助數(shù)軸的思想，使抽象的數(shù)及其運(yùn)算方法，讓人們易于理解和接受。所以，這樣充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，就可突破有理數(shù)及其運(yùn)算方法的教學(xué)困難。

4方程思想

所謂方程的思想，就是一些求解未知的問(wèn)題，通過(guò)設(shè)未知數(shù)建立方程，從而化未知為已知（此種思想有時(shí)又稱代數(shù)解法）。初一代數(shù)開頭和結(jié)尾一章，都蘊(yùn)含了方程思想。教學(xué)中，要向?qū)W生講清算術(shù)解法與代數(shù)解法的重要區(qū)別，明確代數(shù)解法的優(yōu)越性。代數(shù)解法從一開始就抓住既包括已知數(shù)、也包括未知數(shù)的整體，在這個(gè)整體中未知數(shù)與已知數(shù)的地位是平等的，通過(guò)等式變形，改變未知數(shù)與已知數(shù)的關(guān)系，最后使未知數(shù)成為一個(gè)已知數(shù)。而算術(shù)解法，往往是從已知數(shù)開始，一步步向前探索，到解題基本結(jié)束，才找出所求未知數(shù)與已知數(shù)的關(guān)系，這樣的解法是從把未知數(shù)排斥在外的局部出發(fā)的，因此未知數(shù)對(duì)已知數(shù)來(lái)說(shuō)其地位是特殊的。與算術(shù)解法相比，代數(shù)解法顯得居高臨下，省時(shí)省力。通過(guò)方程思想的教學(xué)，學(xué)生對(duì)用字母表示數(shù)及代數(shù)解法的優(yōu)越性得到深刻的認(rèn)識(shí)，激發(fā)他們學(xué)好方程知識(shí)，運(yùn)用方程思想去解決問(wèn)題。由此，學(xué)生用代數(shù)方法解決問(wèn)題和建立數(shù)學(xué)模型的能力得到了培養(yǎng)。

5化歸思想

化歸思想是把一個(gè)新的（或較復(fù)雜的）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決過(guò)的問(wèn)題上來(lái)。它是數(shù)學(xué)最重要、最基本的思想之一。初一數(shù)學(xué)中的化歸思想主要體現(xiàn)在：

（1）用絕對(duì)值將兩個(gè)負(fù)數(shù)大小比較化歸為兩個(gè)算術(shù)數(shù)（即小學(xué)學(xué)的數(shù)）的大小比較。

（2）用絕對(duì)值將有理數(shù)加法、乘法化歸為兩個(gè)算術(shù)數(shù)的加法、乘法。

通過(guò)這樣的化歸，學(xué)生既對(duì)絕對(duì)值的作用、有理數(shù)的大小比較和運(yùn)算有清晰的認(rèn)識(shí)，而且對(duì)知識(shí)的發(fā)展與解決的方法也有一定的認(rèn)識(shí)。

（3）用相反數(shù)將有理數(shù)的減法化歸為有理數(shù)的加法。

篇8

2.豐富教學(xué)方法

由于實(shí)用經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)的目的和特點(diǎn)，就決定了運(yùn)用傳統(tǒng)的，比較單一的授課模式，即講授式，是不可能達(dá)到理想的教學(xué)目標(biāo)的。所以，在教學(xué)的過(guò)程中，要多種教學(xué)方法并用，尤其是能夠促進(jìn)學(xué)生思考，激起學(xué)生興趣的教學(xué)方式，如討論式教學(xué)法、啟發(fā)式教學(xué)法等等，對(duì)于實(shí)用經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)中融入建模思想都是非常有益的。

3.改革學(xué)生成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)機(jī)制，為社會(huì)輸送應(yīng)用型專門人才

由于當(dāng)下的教育中，對(duì)于考試成績(jī)的重視程度極高。然而，在實(shí)用經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的考試中，卻在很大程度上側(cè)重于推理以及推理過(guò)程中的計(jì)算。這就使得教師以及學(xué)生在教學(xué)以及學(xué)習(xí)的過(guò)程中都過(guò)度的重視推理與計(jì)算。所以要想提高數(shù)學(xué)建模思想的在課堂中的滲透，必須要改變學(xué)生的成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)機(jī)制，從而為我國(guó)培養(yǎng)更多的具有高強(qiáng)度思維能力的人才。

4.加強(qiáng)師資隊(duì)伍建設(shè),培養(yǎng)應(yīng)用型專門數(shù)學(xué)教師

由于現(xiàn)在的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教師在大學(xué)時(shí)接受的都是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育，依據(jù)他們現(xiàn)有的教育觀念和知識(shí)結(jié)構(gòu)，很難真正實(shí)現(xiàn)上述三條措施，因此應(yīng)大力加強(qiáng)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)師資隊(duì)伍的建設(shè)。要加強(qiáng)教師的數(shù)學(xué)教育哲學(xué)、現(xiàn)代教育理論的學(xué)習(xí)，從根本上轉(zhuǎn)變教師的數(shù)學(xué)教學(xué)觀，要專門培養(yǎng)一批精通數(shù)學(xué)建模方法和數(shù)學(xué)軟件的使用、掌握經(jīng)濟(jì)學(xué)基本知識(shí)、了解經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。要想將數(shù)學(xué)建模思想很好的應(yīng)用在實(shí)用經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中，需要從教學(xué)的多個(gè)方面進(jìn)行考慮。然而，以上也僅僅是實(shí)用經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)建模思想的幾個(gè)方面的探索，且這些研究都還比較淺顯。而僅僅憑借這些研究來(lái)提高實(shí)用經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，并且將數(shù)學(xué)建模思想很好的應(yīng)用在實(shí)用經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中，顯然是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。所以，對(duì)于實(shí)用經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的研究還需要數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的研究人士進(jìn)行進(jìn)一步的研究和思考。

篇9

小學(xué)數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)教學(xué)的顯性知識(shí)系統(tǒng)，許多重要的法則、公式，教材中只能看到漂亮的結(jié)論，許多例題的解法，也只能看到巧妙的處理，而看不到由特殊實(shí)例的觀察、試驗(yàn)、分析、歸納、抽象概括或探索推理的心智活動(dòng)過(guò)程。因此，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的隱性知識(shí)系統(tǒng)，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)包括顯性和隱性兩方面知識(shí)的教學(xué)。如果教師在教學(xué)中，僅僅依照課本的安排，沿襲著從概念、公式到例題、練習(xí)這一傳統(tǒng)的教學(xué)過(guò)程，即使教師講深講透，并要求學(xué)生記住結(jié)論，掌握解題的類型和方法，這樣培養(yǎng)出來(lái)的學(xué)生也只能是“知識(shí)型”、“記憶型”的，將完全背離數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)。

在認(rèn)知心理學(xué)里，思想方法屬于元認(rèn)知范疇，它對(duì)認(rèn)知活動(dòng)起著監(jiān)控、調(diào)節(jié)作用，對(duì)培養(yǎng)能力起著決定性的作用。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的“就意味著解題”（波利亞語(yǔ)），解題關(guān)鍵在于找到合適的解題思路，數(shù)學(xué)思想方法就是幫助構(gòu)建解題思路的指導(dǎo)思想。因此，向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的元認(rèn)知水平，是培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的重要途徑。

數(shù)學(xué)知識(shí)本身是非常重要的，但它并不是惟一的決定因素，真正對(duì)學(xué)生以后的學(xué)習(xí)、生活和工作長(zhǎng)期起作用，并使其終生受益的是數(shù)學(xué)思想方法。未來(lái)社會(huì)將需要大量具有較強(qiáng)數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)素質(zhì)的人才。21世紀(jì)國(guó)際數(shù)學(xué)教育的根本目標(biāo)就是“問(wèn)題解決”。因此，向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，是未來(lái)社會(huì)的要求和國(guó)際數(shù)學(xué)教育發(fā)展的必然結(jié)果。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)是全面提高學(xué)生素質(zhì)，其中最重要的因素是思維素質(zhì)，而數(shù)學(xué)思想方法就是增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念，形成良好思維素質(zhì)的關(guān)鍵。如果將學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)看作一個(gè)坐標(biāo)系，那么數(shù)學(xué)知識(shí)、技能就好比橫軸上的因素，而數(shù)學(xué)思想方法就是縱軸的內(nèi)容。淡化或忽視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，不僅不利于學(xué)生從縱橫兩個(gè)維度上把握數(shù)學(xué)學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，也必將影響其能力的發(fā)展和數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高。因此，向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的新視角，是進(jìn)行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的突破口。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)滲透哪些數(shù)學(xué)思想方法

古往今來(lái)，數(shù)學(xué)思想方法不計(jì)其數(shù)，每一種數(shù)學(xué)思想方法都閃爍著人類智慧的火花。一則由于小學(xué)生的年齡特點(diǎn)決定有些數(shù)學(xué)思想方法他們不易接受，二則要想把那么多的數(shù)學(xué)思想方法滲透給小學(xué)生也是不大現(xiàn)實(shí)的。因此，我們應(yīng)該有選擇地滲透一些數(shù)學(xué)思想方法。筆者認(rèn)為，以下幾種數(shù)學(xué)思想方法學(xué)生不但容易接受，而且對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高有很好的促進(jìn)作用。

1.化歸思想

化歸思想是把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題通過(guò)某種轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，把一個(gè)較復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個(gè)較簡(jiǎn)單的問(wèn)題。應(yīng)當(dāng)指出，這種化歸思想不同于一般所講的“轉(zhuǎn)化”、“轉(zhuǎn)換”。它具有不可逆轉(zhuǎn)的單向性。

例1狐貍和黃鼠狼進(jìn)行跳躍比賽，狐貍每次可向前跳41／2米，黃鼠狼每次可向前跳23／4米。它們每秒種都只跳一次。比賽途中，從起點(diǎn)開始，每隔123／8米設(shè)有一個(gè)陷阱，當(dāng)它們之中有一個(gè)掉進(jìn)陷阱時(shí)，另一個(gè)跳了多少米？

這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，但通過(guò)分析知道，當(dāng)狐貍（或黃鼠狼）第一次掉進(jìn)陷阱時(shí)，它所跳過(guò)的距離即是它每次所跳距離41／2（或23／4）米的整倍數(shù)，又是陷阱間隔123／8米的整倍數(shù)，也就是41／2和123／8的“最小公倍數(shù)”（或23／4和123／8的“最小公倍數(shù)”）。針對(duì)兩種情況，再分別算出各跳了幾次，確定誰(shuí)先掉入陷阱，問(wèn)題就基本解決了。上面的思考過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題通過(guò)分析轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個(gè)求“最小公倍數(shù)”的問(wèn)題，即把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，這種化歸思想正是數(shù)學(xué)能力的表現(xiàn)之一。

2.數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是充分利用“形”把一定的數(shù)量關(guān)系形象地表示出來(lái)。即通過(guò)作一些如線段圖、樹形圖、長(zhǎng)方形面積圖或集合圖來(lái)幫助學(xué)生正確理解數(shù)量關(guān)系，使問(wèn)題簡(jiǎn)明直觀。

例2一杯牛奶，甲第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就這樣每次都喝了上一次剩下的一半。甲五次一共喝了多少牛奶？

附圖{圖}

此題若把五次所喝的牛奶加起來(lái)，即1／2＋1／4＋1／8＋1／16＋1／32就為所求，但這不是最好的解題策略。我們先畫一個(gè)正方形，并假設(shè)它的面積為單位“1”，由圖可知，1－1／32就為所求，這里不但向?qū)W生滲透了數(shù)形結(jié)合思想，還向?qū)W生滲透了類比的思想。

3.變換思想

變換思想是由一種形式轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N形式的思想。如解方程中的同解變換，定律、公式中的命題等價(jià)變換，幾何形體中的等積變換，理解數(shù)學(xué)問(wèn)題中的逆向變換等等。

例3求1／2＋1／6＋1／12＋1／20＋……＋1／380的和。

仔細(xì)觀察這些分母，不難發(fā)現(xiàn)：2＝1×2，6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5……380＝19×20，再用拆分的方法，考慮和式中的一般項(xiàng)

a[,n]＝1／n×（n＋1）＝1／n－1／n＋1

于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)換為如下求和形式：

原式＝1／1×2＋1／2×3＋1／3×4＋1／4×5＋……＋1／19×20

＝（1－1／2）＋（1／2－1／3）＋（1／3－1／4）＋（1／4－1／5）＋……＋（1／19－1／20）

＝1－1／20

＝19／20

4.組合思想

組合思想是把所研究的對(duì)象進(jìn)行合理的分組，并對(duì)可能出現(xiàn)的各種情況既不重復(fù)又不遺漏地一一求解。

例4在下面的乘法算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求這個(gè)算式。

從小愛數(shù)學(xué)

×4

──────

學(xué)數(shù)愛小從

分析：由于五位數(shù)乘以4的積還是五位數(shù)，所以被乘數(shù)的首位數(shù)字“從”只能是1或2，但如果“從”＝1，“學(xué)”×4的積的個(gè)位應(yīng)是1，“學(xué)”無(wú)解。所以“從”＝2。

在個(gè)位上，“學(xué)”×4的積的個(gè)位是2，“學(xué)”＝3或8。但由于“學(xué)”又是積的首位數(shù)字，必須大于或等于8，所以“學(xué)”＝8。

在千位上，由于“小”×4不能再向萬(wàn)位進(jìn)位，所以“小”＝1或0。若“小”＝0，則十位上“數(shù)”×4＋3（進(jìn)位）的個(gè)位是0，這不可能，所以“小”＝1。

在十位上，“數(shù)”×4＋3（進(jìn)位）的個(gè)位是1，推出“數(shù)”＝7。

在百位上，“愛”×4＋3（進(jìn)位）的個(gè)位還是“愛”，且百位必須向千位進(jìn)3，所以“愛”＝9。

故欲求乘法算式為

21978

×4

──────

87912

上面這種分類求解方法既不重復(fù)，又不遺漏，體現(xiàn)了組合思想。

此外，還有符號(hào)思想、對(duì)應(yīng)思想、極限思想、集合思想等，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中都應(yīng)注意有目的、有選擇、適時(shí)地進(jìn)行滲透。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)如何加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透

1.提高滲透的自覺性

數(shù)學(xué)概念、法則、公式、性質(zhì)等知識(shí)都明顯地寫在教材中，是有“形”的，而數(shù)學(xué)思想方法卻隱含在數(shù)學(xué)知識(shí)體系里，是無(wú)“形”的，并且不成體系地散見于教材各章節(jié)中。教師講不講，講多講少，隨意性較大，常常因教學(xué)時(shí)間緊而將它作為一個(gè)“軟任務(wù)”擠掉。對(duì)于學(xué)生的要求是能領(lǐng)會(huì)多少算多少。因此，作為教師首先要更新觀念，從思想上不斷提高對(duì)滲透數(shù)學(xué)思想方法重要性的認(rèn)識(shí)，把掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和滲透數(shù)學(xué)思想方法同時(shí)納入教學(xué)目的，把數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的要求融入備課環(huán)節(jié)。其次要深入鉆研教材，努力挖掘教材中可以進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法滲透的各種因素，對(duì)于每一章每一節(jié)，都要考慮如何結(jié)合具體內(nèi)容進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法滲透，滲透哪些數(shù)學(xué)思想方法，怎么滲透，滲透到什么程度，應(yīng)有一個(gè)總體設(shè)計(jì)，提出不同階段的具體教學(xué)要求。

2.把握滲透的可行性

篇10

一、歷史的回顧

我國(guó)的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，對(duì)于數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的重要性的認(rèn)識(shí)也有一個(gè)從低到高的過(guò)程。

由中華人民共和國(guó)教育部制訂、1978年2月第1版的《全日制十年制學(xué)校中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試行草案)》，在第2頁(yè)“教學(xué)內(nèi)容的確定”的第(三)條中首次指出：“把集合、對(duì)應(yīng)等思想適當(dāng)滲透到教材中去，這樣，有利于加深理解有關(guān)教材，同時(shí)也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備。”這一大綱在1980年5月第2版時(shí)維持了上述規(guī)定。

由中華人民共和國(guó)國(guó)家教育委員會(huì)制訂、1986年12月第1版的《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》，在第2頁(yè)“教學(xué)內(nèi)容的確定”的第(三)條中，把上述大綱的有關(guān)文字改成一句話：“適當(dāng)滲透集合、對(duì)應(yīng)等數(shù)學(xué)思想”。1990年修訂此大綱時(shí)，維持了這一規(guī)定。

由中華人民共和國(guó)國(guó)家教育委員會(huì)制訂、1992年6月第1版的《九年義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試用)》，在第1頁(yè)“教學(xué)目的”中規(guī)定：“初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)主要是初中代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想和方法。”這份大綱還第一次把資深的數(shù)學(xué)工作者們熟知的提法“數(shù)學(xué)，它的內(nèi)容、方法和意義”改為數(shù)學(xué)的“內(nèi)容、思想、方法和語(yǔ)言已廣泛滲入自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)，成為現(xiàn)代文化的重要組成部分”，并把這段話放入總論的第一段。在第9頁(yè)上又指出，要“使學(xué)生掌握消元、降次、配方、換元等常用的數(shù)學(xué)方法，解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，理解‘特殊棗一般棗特殊’、‘未知棗已知’、用字母表示數(shù)、數(shù)形結(jié)合和把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題等基本的思想方法”；在第6頁(yè)上還指出，“要注意充分發(fā)揮練習(xí)的作用，加強(qiáng)對(duì)解題的正確指導(dǎo)，應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生從解題的思想方法上作必要的概括。”

由國(guó)家教育委員會(huì)基礎(chǔ)教育司編訂、1996年5月第1版的《全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(供試驗(yàn)用)》，在第2頁(yè)“教學(xué)目的”中也規(guī)定：“高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)是指：高中數(shù)學(xué)中的概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想和方法。”在界定“思維能力”一詞的四個(gè)主要層面時(shí)，指出第三層面是“會(huì)合乎邏輯地、準(zhǔn)確地闡述自己的思想和觀點(diǎn)”；第四層面是“能運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、思想和方法，辨明數(shù)學(xué)關(guān)系，形成良好的思維品質(zhì)”。這份大綱維持了數(shù)學(xué)的“內(nèi)容、思想、方法和語(yǔ)言已成為現(xiàn)代文化的重要組成部分”的提法(第1頁(yè))；并指出數(shù)學(xué)規(guī)律“包括公理、性質(zhì)、法則、公式、定理及其聯(lián)系，數(shù)學(xué)思想、方法和語(yǔ)言”(第24頁(yè))；堅(jiān)持在對(duì)解題進(jìn)行指導(dǎo)時(shí)，應(yīng)該“對(duì)解題的思想方法作必要的概括”(第25頁(yè))。這是建國(guó)以來(lái)對(duì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法關(guān)注最多的一份中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育工作者對(duì)于數(shù)學(xué)課程發(fā)展的一些共識(shí)。

二、數(shù)學(xué)思想方法

(一)思想、科學(xué)思想和數(shù)學(xué)思想

思想是客觀存在反映在人的意識(shí)中經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果。它是從大量的思維活動(dòng)中獲得的產(chǎn)物，經(jīng)過(guò)反復(fù)提煉和實(shí)踐，如果一再被證明為正確，就可以反復(fù)被應(yīng)用到新的思維活動(dòng)中，并產(chǎn)生出新的結(jié)果。本文所指的思想，都是那些顛撲不破、屢試不爽的思維產(chǎn)物。因此，對(duì)于學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)，思想就成為他們進(jìn)行思維活動(dòng)的細(xì)胞和基礎(chǔ)；思想和下面述及的方法都是他們的思維活動(dòng)的載體。每門科學(xué)都逐漸形成了它自己的思想，而科學(xué)法則概括出各門科學(xué)共同遵循和運(yùn)用的一些科學(xué)思想。

所謂數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識(shí)之中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果，它是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。首先，數(shù)學(xué)思想比一般說(shuō)的數(shù)學(xué)概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具體、更豐富，而前者比后者更本質(zhì)、更深刻。其次，數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、數(shù)學(xué)方法三者密不可分：如果人們站在某個(gè)位置、從某個(gè)角度并運(yùn)用數(shù)學(xué)去觀察和思考問(wèn)題，那么數(shù)學(xué)思想也就成了一種觀點(diǎn)。而對(duì)于數(shù)學(xué)方法來(lái)說(shuō)，思想是其相應(yīng)的方法的精神實(shí)質(zhì)和理論基礎(chǔ)，方法則是實(shí)施有關(guān)思想的技術(shù)手段。中學(xué)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)(例如方程觀點(diǎn)、函數(shù)觀點(diǎn)、統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)、向量觀點(diǎn)、幾何變換觀點(diǎn)等)和各種數(shù)學(xué)方法，都體現(xiàn)著一定的數(shù)學(xué)思想。

數(shù)學(xué)思想是一類科學(xué)思想，但科學(xué)思想未必就單單是數(shù)學(xué)思想。例如，分類思想是各門科學(xué)都要運(yùn)用的思想(比方語(yǔ)文分為文學(xué)、語(yǔ)言和寫作，外語(yǔ)分為聽、說(shuō)、讀、寫和譯，物理學(xué)分為力學(xué)、熱學(xué)、聲學(xué)、電學(xué)、光學(xué)和原子核物理學(xué)，化學(xué)分為無(wú)機(jī)化學(xué)和有機(jī)化學(xué)，生物學(xué)分為植物學(xué)、動(dòng)物學(xué)和人類學(xué)等；中學(xué)生見到的最漂亮的分類應(yīng)該是在學(xué)習(xí)哺乳綱動(dòng)物時(shí)所出現(xiàn)的門(亞門)、綱(亞綱)、目(亞目)、屬、科、種的分類表，它不是單由數(shù)學(xué)給予的。只有將分類思想應(yīng)用于空間形式和數(shù)量關(guān)系時(shí)，才能成為數(shù)學(xué)思想。如果用一個(gè)詞語(yǔ)“邏輯劃分”作為標(biāo)準(zhǔn)，那么，當(dāng)該邏輯劃分與數(shù)理有關(guān)時(shí)(可稱之為“數(shù)理邏輯劃分”)，可以說(shuō)是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想；當(dāng)該邏輯劃分與數(shù)理無(wú)直接關(guān)系時(shí)(例如把社會(huì)中的各行各業(yè)分為工、農(nóng)、兵、學(xué)、商等)，不應(yīng)該說(shuō)是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想。同樣地，當(dāng)且僅當(dāng)哲學(xué)思想(例如一分為二的思想、量質(zhì)互變的思想和肯定否定的思想)在數(shù)學(xué)中予以大量運(yùn)用并且被“數(shù)學(xué)化”了時(shí)，它們也可以稱之為數(shù)學(xué)思想。

(二)數(shù)學(xué)思想中的基本數(shù)學(xué)思想

在數(shù)學(xué)思想中，有一類思想是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性和總結(jié)性的思維成果，這些思想可以稱之為基本數(shù)學(xué)思想。基本數(shù)學(xué)思想含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和近現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征，并且也是歷史地形成和發(fā)展著的。

基本數(shù)學(xué)思想包括：符號(hào)與變?cè)硎镜乃枷耄纤枷耄瑢?duì)應(yīng)思想，公理化與結(jié)構(gòu)思想，數(shù)形結(jié)合的思想，化歸的思想，對(duì)立統(tǒng)一的思想，整體思想，函數(shù)與方程的思想，抽樣統(tǒng)計(jì)思想，極限思想(或說(shuō)無(wú)限逼近思想)等。它有兩大“基石”棗符號(hào)與變?cè)硎镜乃枷牒图纤枷耄钟袃纱蟆爸е睏棇?duì)應(yīng)思想和公理化與結(jié)構(gòu)思想。有些基本數(shù)學(xué)思想是從“基石”和“支柱”衍生出來(lái)的，例如“函數(shù)與方程的思想”衍生于符號(hào)與變?cè)硎镜乃枷?函數(shù)式或方程式)、集合思想(函數(shù)的定義域或方程中字母的取值范圍)和對(duì)應(yīng)思想(函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則或方程中已知數(shù)、未知數(shù)的值的對(duì)應(yīng)關(guān)系)。所以我們說(shuō)基本數(shù)學(xué)思想是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于“基礎(chǔ)數(shù)學(xué)”(而不是說(shuō)“初等數(shù)學(xué)”)的具有奠基性和總結(jié)性的思維成果。基本數(shù)學(xué)思想及其衍生的數(shù)學(xué)思想，形成了一個(gè)結(jié)構(gòu)性很強(qiáng)的網(wǎng)絡(luò)。中學(xué)數(shù)學(xué)教育、教學(xué)中傳授的數(shù)學(xué)思想，應(yīng)該都是基本數(shù)學(xué)思想。

非科學(xué)思想當(dāng)然也是大量存在的。例如，“崇洋”的思想就是一種非科學(xué)思想。

中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中處處滲透著基本數(shù)學(xué)思想。如果能使它落實(shí)到學(xué)生學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維活動(dòng)上，它就能在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力方面發(fā)揮出一種方法論的功能。

(三)思路、思緒和思考

我們?cè)谥袑W(xué)數(shù)學(xué)教育、教學(xué)中，還經(jīng)常使用著“思路”和“思緒”這兩個(gè)詞語(yǔ)。一般說(shuō)來(lái)，“思路”是指思維活動(dòng)的線索，可視為以串聯(lián)、并聯(lián)或網(wǎng)絡(luò)形狀出現(xiàn)的思想和方法的載體，而“思緒”是指思想的頭緒。“思路”和“思緒”實(shí)際上是同義詞，并且它們都是名詞。

那么，另一個(gè)詞語(yǔ)“思考”又是什么意思呢?“思考”就是進(jìn)行比較深刻、周到的思維活動(dòng)。作為動(dòng)詞，它反映了主體把思想、方法、串聯(lián)、并聯(lián)或用網(wǎng)絡(luò)組織起來(lái)以解決問(wèn)題的思維過(guò)程。由此可見，“思考”所產(chǎn)生的有效途徑就是“思路”或“思緒”；“思路”或“思緒”是“思考”的結(jié)果，是思想、方法的某種選擇和組織，且明顯帶有程序性。對(duì)思路及其所含思想、方法的選擇和組織的水平，反映了學(xué)習(xí)者能力的差異。(四)方法和數(shù)學(xué)方法

所謂方法，是指人們?yōu)榱诉_(dá)到某種目的而采取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規(guī)則或模式。人們通過(guò)長(zhǎng)期的實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)了許多運(yùn)用數(shù)學(xué)思想的手段、門路或程序。同一手段、門路或程序被重復(fù)運(yùn)用了多次，并且都達(dá)到了預(yù)期的目的，便成為數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)方法是以數(shù)學(xué)為工具進(jìn)行科學(xué)研究的方法，即用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)事物的狀態(tài)、關(guān)系和過(guò)程，經(jīng)過(guò)推導(dǎo)、運(yùn)算和分析，以形成解釋、判斷和預(yù)言的方法。

數(shù)學(xué)方法具有以下三個(gè)基本特征：一是高度的抽象性和概括性；二是精確性，即邏輯的嚴(yán)密性及結(jié)論的確定性；三是應(yīng)用的普遍性和可操作性。

數(shù)學(xué)方法在科學(xué)技術(shù)研究中具有舉足輕重的地位和作用：一是提供簡(jiǎn)潔精確的形式化語(yǔ)言，二是提供數(shù)量分析及計(jì)算的方法，三是提供邏輯推理的工具。現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)特別是電腦的發(fā)展，與數(shù)學(xué)方法的地位和作用的強(qiáng)化正好是相輔相成。

宏觀的數(shù)學(xué)方法包括：模型方法，變換方法，對(duì)稱方法，無(wú)窮小方法，公理化方法，結(jié)構(gòu)方法，實(shí)驗(yàn)方法。微觀的且在中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的基本數(shù)學(xué)方法大致可以分為以下三類：

(1)邏輯學(xué)中的方法。例如分析法(包括逆證法)、綜合法、反證法、歸納法、窮舉法(要求分類討論)等。這些方法既要遵從邏輯學(xué)中的基本規(guī)律和法則，又因運(yùn)用于數(shù)學(xué)之中而具有數(shù)學(xué)的特色。

(2)數(shù)學(xué)中的一般方法。例如建模法、消元法、降次法、代入法、圖象法(也稱坐標(biāo)法。代數(shù)中常用圖象法，解析幾何中常用坐標(biāo)法)、向量法、比較法(數(shù)學(xué)中主要是指比較大小，這與邏輯學(xué)中的多方位比較不同)、放縮法、同一法、數(shù)學(xué)歸納法(這與邏輯學(xué)中的不完全歸納法不同)等。這些方法極為重要，應(yīng)用也很廣泛。

(3)數(shù)學(xué)中的特殊方法。例如配方法、待定系數(shù)法、加減法、公式法、換元法(也稱之為中間變量法)、拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法(含有添加輔助元素實(shí)現(xiàn)化歸的數(shù)學(xué)思想)、因式分解諸方法，以及平行移動(dòng)法、翻折法等。這些方法在解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)起著重要作用，不可等閑視之。

(五)方法和招術(shù)

如上所述，方法是解決思想、行為等問(wèn)題的門路和程序，是思想的產(chǎn)物，是包含或體現(xiàn)著思想的一套程序，它既可操作又可仿效。在選擇并實(shí)施方法的前期過(guò)程中，反映了學(xué)習(xí)者的能力和技能的高低；而在后期過(guò)程中，只反映了學(xué)習(xí)者的技能的差異。

所謂“招術(shù)”“招”字應(yīng)正為“著”字，本文仍用傳統(tǒng)的“一招一式”的說(shuō)法。是指解決特殊問(wèn)題的專用計(jì)策或手段，純屬于技能而不屬于能力。“招”的教育價(jià)值遠(yuǎn)低于“法”(這里的“法”指“通法”)的價(jià)值。“法”的可仿效性帶有較為“普適”的意義，而“招”的“普適”要差得多；實(shí)施“招”要以能實(shí)施管著它的“法”為前提。

例如，待定系數(shù)法是一種特別有用的“法”。求二次函數(shù)的解析式時(shí)，用待定系數(shù)法根據(jù)圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求出解析式可看作第一“招”；根據(jù)頂點(diǎn)和另一點(diǎn)的坐標(biāo)求出解析式可看作第二“招”；根據(jù)與x軸交點(diǎn)和另一點(diǎn)的坐標(biāo)求出解析式可看作第三“招”。這三“招”各有奇妙之處。哪一“招”更好使用，要看條件和管著它們的“法”而定。教師授予學(xué)生“用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式”，最根本、最要緊的“法旨”就在于讓學(xué)生明確二次函數(shù)的解析式中自變量、函數(shù)值和圖象上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；對(duì)于一般的點(diǎn)和特殊的點(diǎn)(例如頂點(diǎn)及與x軸的交點(diǎn))，解析式可以有什么不同的反映。而這樣的“法旨”，恰恰體現(xiàn)了對(duì)應(yīng)思想和數(shù)形結(jié)合的思想。由此看來(lái)，我國(guó)古代傳說(shuō)中經(jīng)常提到的某些師傅對(duì)待弟子“給‘招’不給‘法’”的現(xiàn)象，在現(xiàn)代的數(shù)學(xué)教育、教學(xué)中應(yīng)該盡量避免。

三、中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中應(yīng)該傳授的基本數(shù)學(xué)思想和方法

(一)中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中應(yīng)該傳授的基本數(shù)學(xué)思想中學(xué)數(shù)學(xué)教科書擔(dān)負(fù)著向?qū)W生傳授基本數(shù)學(xué)思想的責(zé)任，在程度上有“滲透”、“介紹”和“突出”之分。1.滲透。“滲透”就是把某些抽象的數(shù)學(xué)思想逐漸“融進(jìn)”具體的、實(shí)在的數(shù)學(xué)知識(shí)中，使學(xué)生對(duì)這些思想有一些初步的感知或直覺，但還沒有從理性上開始認(rèn)識(shí)它們。要滲透的有集合思想、對(duì)應(yīng)思想、公理化與結(jié)構(gòu)思想、抽樣統(tǒng)計(jì)思想、極限思想等。前三種基本數(shù)學(xué)思想從初中一年級(jí)就開始滲透了，并貫徹于整個(gè)中學(xué)階段；抽樣統(tǒng)計(jì)思想可從初中三年級(jí)開始滲透，極限思想也可從初中三年級(jí)的教科書中安排類似于“關(guān)于圓周率π”這樣的閱讀材料開始滲透。至于公理化與結(jié)構(gòu)思想，要注意根據(jù)人類的認(rèn)識(shí)規(guī)律，一開始就采取擴(kuò)大的公理體系。例如，教科書既可以把“同位角相等，兩直線平行”和它的逆命題都當(dāng)作公理，也可以把判定兩個(gè)三角形全等的三個(gè)命題“邊角邊”、“角邊角”和“邊邊邊”都當(dāng)作公理。

這種滲透是隨年級(jí)逐步深入的。例如集合思想，初中是用文氏圖或列舉法來(lái)表示集合，不等式(組)的解集可以用數(shù)軸表示或用不等式(組)表示；高中則是列舉法、描述法、文氏圖三者并舉，并同時(shí)允許用不等式(組)、區(qū)間或集合的描述法來(lái)表示實(shí)數(shù)集的某些子集。又如對(duì)應(yīng)思想，初中只用文字、數(shù)軸或平面直角坐標(biāo)系來(lái)講對(duì)應(yīng)；高中則在此基礎(chǔ)上引入了使用符號(hào)語(yǔ)言的對(duì)應(yīng)法則。至于公理化與結(jié)構(gòu)思想、抽樣統(tǒng)計(jì)思想和極限思想在初、高中階段的不同滲透水平，則是眾所周知的。“滲透”到一定程度，就是“介紹”的前奏了。

2.介紹。“介紹”就是把某些數(shù)學(xué)思想在適當(dāng)時(shí)候明確“引進(jìn)”到數(shù)學(xué)知識(shí)中，使學(xué)生對(duì)這些思想有初步理解，這是理性認(rèn)識(shí)的開始。要介紹的有符號(hào)與變?cè)硎镜乃枷搿?shù)形結(jié)合的思想、化歸的思想、函數(shù)與方程的思想、抽樣統(tǒng)計(jì)思想、極限思想等。這種介紹也是隨年級(jí)逐步增加的。有的思想從初中一年級(jí)起就開始介紹(例如前四種基本數(shù)學(xué)思想)，有的則是先滲透后介紹(例如后兩種基本數(shù)學(xué)思想)。“介紹”與“滲透”的基本區(qū)別在于：“滲透”只要求學(xué)生知道有什么思想和是什么思想，而“介紹”則要求學(xué)生在此基礎(chǔ)上進(jìn)而知道為什么叫做思想(含思想的要素和特征)、用什么思想(含思想的用途)并學(xué)會(huì)運(yùn)用。作為補(bǔ)充，也可以就問(wèn)題適時(shí)地向?qū)W生介紹如何運(yùn)用一分為二的思想和整體思想。

3.突出。“突出”就是把某些數(shù)學(xué)思想經(jīng)常性地予以強(qiáng)調(diào)，并通過(guò)大量的綜合訓(xùn)練而達(dá)到靈活運(yùn)用。它是在介紹的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，目的在于最大限度地發(fā)揮這些數(shù)學(xué)思想的功能。要突出的有數(shù)形結(jié)合的思想、化歸的思想、函數(shù)與方程的思想等。這些基本數(shù)學(xué)思想貫穿于整個(gè)中學(xué)階段，最重要、最常用，是中學(xué)數(shù)學(xué)的精髓，也最能長(zhǎng)久保存在人一生的記憶之中。“介紹”與“突出”的基本區(qū)別在于：“介紹”只要求學(xué)生知道用什么和會(huì)用，而“突出”則要求學(xué)生在此基礎(chǔ)上進(jìn)而知道選用和善用。作為補(bǔ)充，也可以就數(shù)學(xué)問(wèn)題經(jīng)常向?qū)W生突出分類思想的運(yùn)用。