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篇1

ABSTRACT:fortablewalkingvelocity,amplitudesofpelvicandthoracicrotations,andtheircoordinationwerecomparedbetweenthetwogroups.ResultsComfortablewalkingvelocitywassignificantlyreduced.Therotationalamplitudesofpelvisandthoraxweresomewhatreduced,withsignificantlysmallerintraindividualstandarddeviations.AlsopelvisthoraxRelativeFourierPhasewasalittlesmaller;itsintraindividualstandarddeviationwassignificantlyreducedatvelocities≥1.06m/s.ConclusionThegeneralpatternofgaitkinematicsinpregnantwomenisverysimilartothatofnulligravidae.Pregnantwomenexperienceddifficultiesinrealizingtheharderantiphasepelvisthoraxcoordinationthatwasrequiredathigherwalkingvelocities.

KEYWORDS:pregnantwomen;walking;gait;pelvis;thorax;biomechanics

長期以來,人們一直認為妊娠影響孕婦的步態運動。Foti等研究發現,孕婦步行時跖屈的動量減少,髖關節外展的動量及骨盆的傾斜度均增加,骨盆的傾斜度的改變存在較大的個體差異[1]。Nagy等報道孕婦最舒適的步行速度顯著性降低,亦存在較大的個體差異[2]。但Foti等認為這種變化并無統計學意義,并發現懷孕對步長或步周期長無顯著性影響[1]。上述研究顯示,孕婦的步態發生改變,但研究結果并不一致。大約25%患有妊娠相關骨盆痛的孕婦和5%產后患者需要就診治療,重癥患者常常出現步行障礙[3]。對正常孕婦運動協調的研究可作為今后研究妊娠相關骨盆痛的步態運動的基礎。筆者研究懷孕對步行時水平面上骨盆和胸廓運動協調的影響,以期有助于從生物力學的角度進一步了解妊娠相關骨盆痛患者的步態運動。

1對象與方法

1.1對象選取年齡20～45周歲的健康未孕婦女(對照組)和健康孕婦(孕婦組)作為觀察對象。對照組13例,年齡中位數27歲(22～36歲),體質量中位數75kg(45～95kg),身高中位數172cm(157～190cm);孕婦組12例,年齡中位數32歲(30～38歲),體質量中位數76.5kg(67.5～89kg),身高中位數172cm(162～180cm)。

1.2方法

1.2.1儀器步行儀(BiostarGiant,荷蘭AlmereBiometrico公司);三維運動捕捉系統(Optotrak,加拿大NDI公司)。

1.2.2方法受試者以不同速度在步行儀上行走。骨盆、胸廓和足部的運動由三維運動捕捉系統光學鏡頭拍攝記錄。2組光學鏡頭位于受試者的身后。在受試者的胸背部第6胸椎棘突的位置和骶骨兩髂后上棘之間各有一輕金屬架,用尼龍束帶將金屬架固定其上,金屬架上有3個可發紅外光裝置,構成一個剛體。為了捕獲步行時足跟著地和足趾離地時的瞬間,在每側足跟和第五跖趾關節處各安裝一可發出紅外線的裝置。實驗裝置見圖1[4]。實驗開始時先讓受試者在步行儀上行走3～5min,接著步行速度從0.17m/s每間隔1～2min增加0.11m/s,至1.72m/s。步行過程中,測試受試者最舒適步行速度和最大步行速度。每個速度下的數據采集共30s,抽樣頻率為100Hz。

圖1測量步行時胸廓和骨盆運動的實驗裝置（略）

Fig1Experimentalsetupformeasuringthethoracicandpelvicmovementsduringwalking

1.2.3指標胸廓和骨盆的剛體在空間的運動代表各自的三維運動。設定剛體x、y、z軸的正方向為人體解剖位的前、上、左方位。通過計算xy象限上的反正切角度得出骨盆和胸廓在水平面上旋轉角度的時序。骨盆和胸廓的旋轉運動幅度(rotationalamplitude,RA)是從各自的運動時序上確定每一個步周期內最大與最小的角度差的絕對值。軀干的旋轉運動時序是將骨盆運動時序與胸廓的運動時序相減而生成。在每一速度下對骨盆、胸廓和軀干的所有步周期的RA進行計算,取均值,分別確定為骨盆、胸廓和軀干的RA,并計算各自標準差。

應用快速離散傅立葉變換計算公式計算出每個運動時序的連續傅立葉相的時序。骨盆和胸廓的傅立葉相差時序是由胸廓的傅立葉相時序與骨盆的傅立葉相時序相減而產生。運用圓周統計學計算出骨盆和胸廓運動的傅立葉相差(relativefourierphase,RFP)及其個體內標準差。若RFP為0,表示同相協調運動;若RFP為180°,則表示反相協調運動。

1.3統計學處理應用SPSS10.0軟件,采用方差檢驗,P<0.05為差別有統計學意義。

2結果

2.1步行速度正常孕婦的最舒適步行速度中位數1.06m/s(0.72～1.28)m/s,對照組為1.17m/s(0.83～1.50)m/s,2組比較差別有統計學意義(P<0.05)。

2.2骨盆和胸廓RA及其個體內標準差骨盆RA先是隨著步行速度的增加(0.94～1.06m/s)而逐漸減小,然后隨著步行速度的增加而逐漸增加(圖2A)。孕婦組和對照組骨盆RA分別為(9.1±福建醫科大學學報2008年5月第42卷第3期吳文華等：正常孕婦步行時骨盆與胸廓水平面的旋轉運動3.5)°和(7.7±3.2)°,其速度效應差別有統計學意義(P<0.05)。孕婦骨盆RA的個體內標準差較對照組減少(P<0.05),孕婦組和對照組的值分別為(1.3±0.4)°和(1.6±0.5)°(表1)。

圖2對照組和孕婦組在不同步行速度下各部位的旋轉運動幅度（略）

Fig2Rotationalamplitudesofthepelvis,thethoraxandthetrunkduringgaitatdifferentwalkingvelocitiesofthecontrolsubjectsandthehealthypregnantwomen

表1各變量的速度效應和組別效應（略）

Tab1Theeffectsofvelocityandgrouponthevariables(repeatedmeasuresANOVAs)

胸廓RA基本維持穩定而變化不大直至步行速度增至0.8m/s時,然后隨著步行速度的遞增而漸減少(圖2B)。經方差檢驗,速度的效應差別有統計學意義(P<0.05)。孕婦胸廓RA的個體內標準差比對照組減少(P<0.05)。孕婦組和對照組的均值分別為1.2°和1.7°,其速度效應差別有統計學意義(P<0.05)。

軀干RA是隨著行步速度的增加而遞增的(圖2C),孕婦的軀干RA較對照組約小1°,其速度效應有統計學意義(P<0.05),孕婦軀干RA的個體內標準差較對照組小(P<0.05),孕婦組和對照組的值分別為(0.7±0.3)°和(1.0±0.4)°,其速度效應有統計學意義(P<0.05)。在最舒適的步行速度下,孕婦骨盆和軀干RA較對照組小(P<0.05)。

2.3RFP及其個體內標準差

圖3對照組和孕婦組在不同步行速度下的傅立葉相差及其個體內的標準差（略）

Fig3Relativefourierphaseanditsintraindividualstandarddeviationbetweentransversepelvicandthoracicrotationsatdifferentwalkingvelocitiesofthecontrolsubjectsandthehealthypregnantwomen

2組RFP均隨著速度的增加而增加(圖3A),呈一條S形曲線,在速度為0.83,1.17m/s的區域內最為陡峭。孕婦的RFP較對照組小7°。其步行速度效應有統計學的意義(P<0.05)。RFP的個體內的標準差與速度的關系有點不規則(圖3B),隨著速度的遞增而增加,直至速度到達0.94～1.17m/s;接著是一個平臺或稍有點下降,在最舒適的步行速度時,達到最高值。孕婦的RFP的個體內標準差較對照組小(P<0.05),其速度效應差別有統計學意義(P<0.05)。

孕婦的孕周數與RFP的個體內標準差相關系數為－0.68,差別有統計學意義(P<0.05)。在最舒適的步行速度下,孕婦的RFP及其個體內標準差均比對照組小(P<0.05)。

3討論

3.1總體上孕婦的步態運動正常在2組中,速度對RA、骨盆胸廓RFP及其個體內的標準差的影響相似(圖2～3),由此得出結論,孕婦的步態運動從總體上講是正常的。懷孕和行走本身就具有高度的相容性,從進化學的角度而言,這并不難理解[5]。盡管如此,孕婦的最舒適的步行速度明顯的下降,RA變小,尤其是在最舒適的速度下骨盆和軀干RA的減少具有顯著性差異。他們的個體內標準差減少,具有統計學意義。骨盆和胸廓RFP變小,在最舒適的速度下具有顯著性差異,其個體內標準差變小,在快速行走的速度下(≥1.06m/s),這種差別有統計學意義。孕周數與此個體內的標準差呈顯著性負相關。孕婦必須適應懷孕的改變,比如體質量的增加。本研究揭示在孕婦身上發生了輕微但是連貫一致的運動學變化,這點與以往文獻報道的有所不同[12]。

3.2孕婦骨盆胸廓旋轉運動的RFP孕婦選擇在低速下步行不能用節約能量的觀點來解釋,因為當步行速度低于(或高于)最舒適的速度時,須消耗更多的能量[5]。盡管如此,低速行走獲得了更多時間來對微擾進行反應[6],這也許是孕婦由于額外的載荷或本體覺受干擾而選擇低速行走的原因,目的是為了避免出現快速步行時的運動協調模式。

本研究表明,未懷孕婦女的最舒適步行速度出現在RFP的曲線上的平臺起始段,而孕婦最舒適步行速度則是出現在曲線陡坡的半山腰處,此時2組間的RFP的差值為44°。當孕婦快速步行時,RFP值較高,但其變異性很小,這提示了對孕婦而言,完成大的RFP的步態是有困難的,這種現象同樣發生在背著負荷的受試者、慢性下腰痛患者、妊娠相關骨盆痛產后的患者[4,78]。出現較小RFP的步態運動可以由許多種不同的限制性因素造成,妊娠便是其中之一。

比較骨盆、胸廓和軀干旋轉運動的個體內標準差,他們的平均值分別為1.25°,1.29°和0.66°。如果骨盆和胸廓的旋轉運動的控制是相互獨立的話;而實際上,它的值小得多。因此,骨盆和胸廓的旋轉運動似乎是同時受到控制的,雖然軀干的旋轉運動在快速行走的協調方面不是一個“必須的變量”[9],因為軀干的旋轉缺乏時間維。顯然,RFP是和時間變量有關,它也許是快速步行時的必須變量,以確保快速行走時骨盆的旋轉運動必須被胸廓的反向旋轉運動所平衡[10]。就孕婦的步態而言,快速行走時骨盆和胸廓的慣性沖量將會增加,這也許是孕婦無法實現大的RFP步態運動的原因。

3.3孕婦步態運動的變異性自從Bernstein引入了“探索變異性”以來,對運動的變異性研究漸漸興起。運動的變異性常常被認為是具有功能性,才有可能有靈活性、適應性;然而變異性會消耗能量及增加損傷的可能性,因此變異性的功能性必須看是針對何種情形而言[1114]。

一個較為奇怪的現象是骨盆與胸廓間的RFP的個體內的變異的最大值在非常靠近最舒適步行速度的地方出現。Masani等人發現地面作用力的變異在最舒適步行速度時最小[15],也許在最舒適的速度下,身體重心的垂直運動是必須的變量,而在水平面上的骨盆和胸廓間的RFP在快速步行時則變成是必須的變量。撇開RFP的變異性是如何發揮作用的,在懷孕期間,尤其在懷孕晚期,RFP的變異性是如何在最舒適步行速度下增加并且在快速行走時減少有待于進一步研究。

筆者認為,正常孕婦的步態運動學特征與未懷孕的婦女相似。盡管如此,2組間存在著許多細微的差別。孕婦的最舒適步行速度較對照組顯著性下降。骨盆、胸廓和軀干的RA較對照組小。他們的個體內的標準差則較對照組低。在最舒適步行速度下,骨盆和軀干的RA較對照組小。孕婦組的RFP較對照組小,在速度≥1.06m/s,個體內的標準差呈顯著性減少,尤其是在懷孕晚期表現更為明顯。

【參考文獻】

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篇2

股市技術分析方法概述

股市的分析通常包括基本面分析和技術分析方法。股市基本面分析是從國家的政策和公司的發展等角度對股市運行的趨勢進行預測。投資者通過深入分析這些基本面信息能有效的把握股市的長期趨勢并選擇相應的股票買入和賣出。股市技術分析則是以股票價格作為主要研究對象，以預測股價波動趨勢為主要目的，通過數學中的統計學理論計算和分析相應的股市評測指標并通過這些指標及其相應的圖表對股市及其單個的股票價格趨勢進行預測的方法。投資者通過對股市進行深入的技術分析能較有效的確定股市的趨勢以及買入和賣出股票的時間。股市技術分析的重點是分析股票的價格、成交量、時間以及股票價格波動的幅度。 股市技術分析中最經典的方法是道氏理論、江恩理論和波浪理論。

道氏理論最初由美國人查爾斯?道提出，通過實踐的檢驗它成為預測市場趨勢的晴雨表，同時成為股市技術分析方法的開創者。道氏理論是一種技術理論，它是根據價格模式的研究，推測未來價格行為的一種方法。道氏理論認為股票會隨市場的趨勢同向變化以反映市場趨勢和狀況。股票的變化表現為三種趨勢：主要趨勢、中期趨勢及短期趨勢[1]。由于其對股市運用趨勢良好的把握，因此，今天道氏理論仍然運用在股市分析中。道氏理論由于認為對數據的統計與前期數據存在較大的偏差才能對趨勢的變化進行確定，因而其預測的結果存在滯后性。

江恩理論最初由投資大師威廉?江恩提出，它通過對數學、幾何學、宗教、天文學的綜合運用，建立起獨特分析方法和測市理論并結合其在股票和期貨市場上的驕人成績和寶貴經驗總結而來。江恩理論主要包括江恩時間法則，江恩價格法則和江恩線等。江恩理論認為股票、期貨市場里也存在著宇宙中的自然規則，市場的價格運行趨勢不是雜亂的，而是可通過數學方法預測的。它的實質就是在看似無序的市場中建立嚴格的交易秩序，并以此來發現何時價格會發生回調和將回調到什么價位[2]。

美國證券分析家拉爾夫?.納爾遜?.艾略特通過對股市指標描述的技術圖形的分析發現股市存在13種形態和波浪，并認為其在股市上會重復出現，以此為依據通過技術圖形中波浪數量和結構的研究實現對股市運行趨勢的預測。他認為股市運行的過程呈現一種周期性的變化，每一周期包含5個上升浪和3個下跌浪。艾略特波浪理論認為股市運行的周期有長短之分，長的達到上百年，短的僅僅以小時計，同時其將股市運行的周期按時間長短分為九大類，九大類結構中不論周期的長短每一周期均由8個波浪構成。

目前的股市技術分析方法被大多數投資者采用，成為買入和賣出股票的重要參考依據。但一旦大多數投資者都采用這些相同的方法時，結果往往適得其反。并且機構投資者往往通過這些技術分析方法逆向操作，迷惑和欺騙投資者。因此，如果避開這些傳統的方法分析股市的趨勢效果往往更好。

標準差

標準差是整個測量數據標準值與其平均數離差平方的算術平均數的平方根。它反映的是測量的數據中偏離平均值的個體多少的離散程度。標準差越大說明數據偏離平均值越多。標準差越大也可以認為數據越不穩定。一個較大的標準差，代表大部分的數值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準差，代表這些數值較接均值。

基于標準差的股市趨勢分析

標準差表示的是數據集中的個體偏離標準差的多少，標準差越大說明偏離平均值的數據越多。當股市發生趨勢性變化時，將有越來越多的指標所代表的數據偏離原來數據集合的平均值，因此，采用標準差能對股市趨勢進行預測。在采用標準差預測股市趨勢前有兩個問題要解決。首先，股市每一天的指標數據對預測股市的貢獻是不一樣的，越是近期的指標數據越能代表當時股市的趨勢。其次，指標數據尤其是股票的價格包括每天的最高價，最低價，開盤價和收盤價莊家是可以操縱的，如果直接拿來分析結果往往會存在較大的誤差。與股價相比成交量往往更接近真實的情況，因此要結合成交量來分析股價。第一個問題可以對指標數據施以權重來解決，根據指標數據不同的時間給予不同的權重，越是近期的數據權重越大，從而能對趨勢的預測有指引作用。股市中的各種價格常常帶有欺騙性，因此可以把成交量作為權重計算一個帶有權重的價格，為更加真實的反映實際情況，每天成交量的計算時間不可太長，如可取10分鐘，15分鐘，30分鐘等。

采用標準差的股市趨勢分析方法具體步驟如下：

（1）設10分鐘內的某股票成交的最高價為 ，成交的最低價為 ，則認為這10分鐘內股票的價格為 。

設這1 0分鐘內的該股票成交量 為，則這10分鐘內該股票的價格為

（2）設該股票全天成交量為M，以10分鐘為一個時間段全天的交易分為p個時間段，該股票全天的價格為 ，則

（3）對N天的股票價格進行分析，設每天股票價格的權重為 ，越是近期的價格權重的值越大，N天的股票平均價格為μ，則該股票的標準差為σ

。

（4）對股市中股票的標準差進行分析，確定標準差σ的閾值，當標準差σ超過閾值時可確定股票的趨勢正發生變化。

實驗分析

為確定本方法的有效性，本文采用了深萬科股票作為研究對象，時間區間為2015年11月至2016年8月，下圖1為深萬科的股價走勢，圖2為萬科股票日標準差。

篇3

0 引言

高等學校英語應用能力考試是高職高專公共英語唯一的全國性考試，其前身是普通高等專科英語考試，是國家為檢測和提高普通高等專科英語課程教學質量而建立的，1997年開始試運行，1998年正式投入使用，距今已有16年。高等學校英語應用能力考試現已被高職院校普遍采用作為評價師生教學效果的手段。考試的結果通常以考試成績暨分數體現。在高職公共英語課程教學研究中，對考試成績進行統計分析已有涉及，但更多的也只涉及到某一方面，如求出平均分。這些分析不能準確全面的反映學生的考試情況，也就不能公正對師生的教學效果進行評價，這就需要我們對考試成績科學的統計分析。本文將使用統計學中的集中量數、差異量數及標準分對我校學生高等學校英語應用能力考試測試成績進行統計分析，以期通過學生的測試成績來全面科學的了解測試結果，給教師的教學效果和學生的學習效果做出公正的評價。

1 集中量數

集中量數是代表一組數據典型水平或集中趨勢的量（王孝玲，2001）。它主要有兩個作用：第一，它是一組數據的代表值，用來表示這組數據的典型情況。第二，組間的集中量數是可以比較的，通過比較可以判斷組間數據的差別。集中量數主要三種形式，它們分別是平均數、中數和眾數。平均數是教師對考試成績普遍采用的一種統計分析方法。平均數最嚴密也最易于理解，因此應用也最廣。但平均數存在著很多的不足，比如：平均數的典型性容易受極端數據的影響。如果一個班的分數之間差距很大，有的分數很高有的分數很低，這種情況下算出的平均數就不具有典型性。基于此，我們需要采用其它的統計方法，這就是中數和眾數。中數又名中位數，是按順序排列在一起的一組數據中居于中間位置的數，即在這組數據中，有一半的數據比它大，有一半的數據比它小。眾數是一組數據中出現次數最多的數。通過平均數、中數和眾數的三者結合，可以為我們的考試成績提供更全面的信息。

表1

從表1我們可以看出供電1和供電2兩個班的高等學校英語應用能力考試成績平均分都是73。如果僅從平均分這個角度來比較兩個班的考試成績，我們就會得出兩個班的考試成績的集中趨勢的量是一樣的。但我們通過統計分析發現供電1和供電2考試成績的中數和眾數是不一樣的。之前我們講了，平均數是容易受極端數據的影響，但是中數是不會受到極端數據的影響。從表1我們可以看出供電1有兩位學生的考試成績低于45，屬于極端數據，所以此組的集中趨勢的量應該用中數來表示即76，供電2組的集中趨勢的量可以用平均數來表示即73。

相對而言，平均數、中數和眾數是三個較為常見的集中量數，都能在一定程度上反映數據的集中趨勢，所以具有內在的關聯性。當平均數、中數和眾數三者相等時，這組數據即成正態分布，數據的次數分布圖就會完全對稱，三個數數軸上重合為一點。當平均數、中數和眾數三者不相等時，具體地說，當平均數>中數>眾數，叫作正偏態。當考試成績出現正偏態時，說明試題太難。當平均數

2 差異量數

描述一組數據的特征僅用集中量數是不夠的。我們在研究一組數據的特征時，不但要了解其典型的情況，而且還要了解特殊情況（韓寶成，2000）。例如在比較同一個年級的幾個教學班高等學校英語應用能力考試成績時，只比較集中量數是不夠的，還要對它們的分散程度進行比較。在統計學中，我們用差異量數來描述數據分散程度。常用的差異量數包括標準差和全距。標準差是總體各單位標準值與其平均數離差平方的算術平均數的平方根。它反映組內個體間的分散程度。標準差的公式如下：

σ=■

表2

從表2中我們可以看出這10個班的高等學校英語應用能力考試成績平均分比較接近。特別是應電1和供電2，應電2和計算1。它們的平均分依次差0.01、0.18。從平分來看應電1和供電2不分伯仲，應電2要比計算1要稍微好點。但從標準差來看供電2的分散程度要比應電1的小，說明供電2的考試成績相對集中，故供電2的成績要比應電1的成績好。從全距來看，應電1的全距是49，而供電2的全距是36，這也說明供電2的考試成績相對集中。應電2和計算1的情況也類似。

平均數在一組數據中典型性程度高低也取決于這組數據的標準差和全距，如果標準差和全距小，說平均數的典型性程度高，反之則小。

3 標準分

考生在考試后，按照評分標準對其作答反應直接評出來的分數，叫原始分。原始分反映 了考生答對題目的個數，或作答正確的程度。但是，原始分一般不能直接反映出考生間差異 狀況，不能刻劃出考生相互比較后所處的地位。標準分是一種由原始分推導出來的相對地位量數，它是用來說明原始分在所屬的那批分數中的相對位置的。標準分是以標準差為單位來表示某一分數與平均數的差。標準分的公式是Z=（X-X_bar）/S，式中X為原始分數，X_bar為原始分的平均數，S為原始分的標準差。

表3

將原始分轉換成標準分之后，我們就可以很直觀的看出某個學生的考試成績在整個班級中所處的位置。

把原始分轉換成標準分之后，標準分成了一個抽象的數據，不受原測量單位的影響（李躍平，2003）。這樣我們就可以將某個學生在不同時間參加的考試進比較，不同科目之間的成績也可以用來進行比較，這是原始分所不能的。

4 結束語

通過把學生的高等學校英語應用能力考試成績進行統計分析，算出反映數據集中趨勢的集中量數、反映數據分散程度的差異量數以及標準分，才能是考試成績客觀全面的反映師生的教學情況，幫助師生改進教學，實現既定教學目標。

【參考文獻】

篇4

[中圖分類號]O 212 [文獻標識碼]A [文章編號]1005-6432（2013）10-0023-011

1 引 言

在科學實驗中，測量可分為常量測量和變量測量兩大類。物理量的變化量遠小于測量儀器誤差范圍的測量稱為常量測量（又稱經典測量、基礎測量），其核心理論是誤差理論[1-3]，誤差理論的基本單元是誤差元（測量值減真值）。測量儀器誤差范圍遠小于物理量的變化量的測量稱為變量測量（又稱統計測量），其核心理論是數理統計理論（概率論是其理論基礎），數理統計理論的基本單元是偏差元（又稱離差元，測量值減數學期望）。標準差（standard deviation，又稱標準偏差、均方差，其英文縮寫詞為SD，此術語1893年由卡爾·皮爾遜首創）是用來衡量一組測量數據的離散程度的統計量，它反映了隨機變量的取值與其數學期望的偏離程度。經典測量學只能處理常量測量問題，而當今頻域界的頻率穩定度測量（常用阿倫方差表示）則屬于變量測量。

等精度測量（equally accurate measurement）是指在測量條件（包括測量儀器的準確度、觀測者的技術水平、環境條件影響及測量方法等）不變的情況下，對某一被測物理量所進行多次測量的一種方法。在實際測量工作中，由相同設備、相同人員、相同環境和相同方法所獲得的各測量值可視為是等精度測量值。文獻[4]介紹了流量計量中的計量學基本原則——等精度傳遞理論。

在測量實踐中，有時為了獲得準確度更高的測量結果，往往要求在不同的測量環境條件下，使用不同的測量儀器，選用不同的測量者和不同的測量次數，采用不同的測量方法進行對比測量，這種測量方法稱為不等精度測量（unequally accurate measurement）。不等精度測量的不確定度應采用加權方式計算[5-6]。

若無特別說明，本文中所涉及的測量均指等精度測量。

2 誤差的種類和應用

誤差公理認為誤差自始至終存在于一切科學實驗和測量之中，是不可避免的，即誤差無處不在，真值是不可知的。在實際應用工作中，可用約定真值或相對真值來代替理論概念中的理想真值。約定真值一般包括約定值、指定值和最佳估計值三種類型。

測量誤差最基本的表示方法有如下三種：①絕對誤差=測量值-真值，絕對誤差通常簡稱為誤差（即真誤差）；②相對誤差=絕對誤差/真值≈絕對誤差/測量值；③引用誤差=示值誤差/測量范圍上限（或全量程）。殘差（又稱剩余誤差）=測量值-估計值，殘差可認為是真誤差的估計值。絕對誤差和相對誤差通常用于單值點測量誤差的表示，而對于具有連續刻度和多檔量程的測量儀器的誤差則通常采用引用誤差來表示。

按誤差的特點和性質可將其分為粗大誤差（parasitic error）、系統誤差（systematic error）和隨機誤差（random error）三大類。可消除的粗大誤差（又稱過失誤差，沒有規律可循）應予全部剔除，系統誤差（又稱規律誤差、理論誤差或方法誤差，一個定值或服從函數規律）反映測量的正確度（correctness），隨機誤差（舊稱偶然誤差、不定誤差，服從統計規律，大多數服從正態分布規律）反映測量的精密度（precision），測量的準確度（accuracy，又譯為精確度）則是用綜合誤差（即測量不確定度）來衡量的，有時也用極限誤差來衡量測量的準確度。逐項獲得測量的系統誤差和隨機誤差，采用誤差合成的方法（各系統誤差絕對值相加得系統誤差范圍，各隨機誤差均方根合成則得隨機誤差范圍。系統誤差范圍加隨機誤差范圍可得綜合誤差范圍）合成綜合誤差，它表征了測量結果與真值的不一致程度。

泛指性的“精度”一詞常被用作“精確度（即準確度）”或“精密度”的替代詞，因其并無明確和嚴格的科學定義，故在學術論文中應慎用或棄用。

下面簡要介紹一下隨機誤差所遵循的一些基本統計規律，首先需要介紹中心極限定理：

當測量次數n無限增大時，在真誤差序列中，若比某真誤差絕對值大的誤差和比其絕對值小的誤差出現的概率相等，則稱該真誤差為或然誤差（probable error，又稱概率誤差，它在衡量射擊精密度時尤其顯得重要），記作ρ。

作為精密度的評定指標，中誤差最為常用，因為它反映了真誤差分布的離散程度。

通常以2倍或3倍的中誤差作為隨機誤差的極限誤差（limit error），其置信概率分別是9544%（2σ準則）和9973%（3σ準則）。如果某個誤差超過了極限誤差，就可以認為它是粗大誤差而被剔除，其相應的測量值應舍棄不用。

對于某個測量值，通常采用相對中誤差（即中誤差和測量值之比，又稱相對標準差）配合中誤差來衡量，它能更全面地表達測量值的好壞。

英國物理學家、化學家和數學家瑞利勛爵（Lord Rayleigh，1842—1919）以嚴謹、廣博和精深而著稱，他善于利用簡單的設備做實驗而能獲得十分精確的數據。他因對氣體密度的精確研究并因此參與發現稀有氣體（舊稱惰性氣體）氬而榮獲1904年諾貝爾物理學獎。1892年瑞利在研究氮氣時發現[7]：從液態空氣中分餾出來的氮，其密度為12572 kg/m3，而用化學方法直接從亞硝酸銨中得到的氮，其密度則為12508 kg/m3（現在的最權威數據125046 kg/m3是基于0 ℃和01 MPa時），前者比后者大05117%，因實驗中已排除了粗大誤差的可能，這一差異已遠遠超出隨機誤差的正常范圍（現在通過t檢驗準則可以判定當時瑞利測得的空氣中氮的密度數據是存在系統誤差的）。英國物理化學家和放射化學家拉姆賽（Sir William Ramsay，1852—1916，1904年諾貝爾化學獎獲得者）注意到這個問題并要求與瑞利合作對此問題展開共同研究，最終他們利用光譜分析法于1894年8月13日發現了第一種稀有氣體─氬（Ar）。氬元素的發現是科學家們注意測量結果中的微小誤差（實際上是系統誤差）而取得重大科學發現的經典范例，是名副其實的“第三位小數”的勝利[8]。隨后，其他稀有氣體氦（He，1895年3月）、氪（Kr，1898年5月）、氖（Ne，1898年6月）、氙（Xe，1898年7月）、氡（Rn，1899年，繼釙Po、鐳Ra和錒Ac之后第4個被發現的天然放射性元素）陸續被拉姆賽等人所發現，稀有氣體的發現完善和發展了俄國化學家門捷列夫（1834—1907）的元素周期表（1869年）。

3 統計量的概率分布類型

離散型統計量服從的概率分布類型主要有：①退化分布（又稱單點分布）；②伯努利（瑞士數學家，Jocob Bernoulli，1654—1705）分布（又稱兩點分布）；③二項分布：包括超幾何分布（又衍生出負超幾何分布）、β-二項分布和離散均勻分布；④泊松分布：包括帕斯卡（法國數學家和物理學家，Blaise Pascal，1623—1662）分布（又稱負二項分布）和幾何分布；⑤對數分布等。

隨機誤差大多服從正態分布或標準正態分布，服從正態分布的隨機誤差具有單峰性、對稱性、有界性和抵償性。正態分布是隨機誤差遵循的最普遍的一種分布規律，但不是唯一的分布規律。隨機誤差服從的常見非正態分布（又稱偏態分布）主要有：①均勻分布（又稱矩形分布、等概率分布）；②伽馬分布（Γ-分布）：包括指數分布（兩個相互獨立且都服從指數分布的隨機變量之和服從廣義指數分布）、厄蘭（丹麥數學家和統計學家，Agner Krarup Erlang，1878—1929）分布和τ-分布（χ2-分布是其特例）等特例；③χ-分布：包括反射正態分布、瑞利分布和麥克斯韋（英國物理學家和數學家，James Clerk Maxwell，1831—1879）分布等特例，廣義瑞利分布又稱萊斯（美國通信理論專家，Stephen " Steve" Oswald Rice，1907—1986）分布（Rice distribution or Rician distribution），當v=0時萊斯分布退化為瑞利分布；④貝塔分布（B-分布）；⑤F-分布：1934年美國數學家和統計學家斯內德克（George Waddel Snedecor，1881—1974）首創，為彰顯英國統計學家和遺傳學家費歇爾（Sir Ronald Aylmer Fisher，1890—1962，方差分析的發明者）的貢獻，后來以其名字命名；⑥t-分布（又稱學生氏分布）：1908年由英格蘭統計學家戈塞特（William Sealy Gosset，1876—1937）首創，因他以Student為筆名而得名；⑦對數正態分布；⑧極值分布：包括重指數分布和威布爾（瑞典數學家，Ernst Hjalmar Waloddi Weibull，1887—1979）─格涅堅科分布（參見本文第73節“極差法”）等；⑨柯西（法國數學家，Augustin Louis Cauchy，1789—1857）分布；⑩辛普森（英國數學家，Tomas Simpson，1710—1761）分布（又稱三角形分布）等。此外還有反正弦分布、截尾正態分布、雙峰正態分布、梯形分布、直角分布、橢圓分布和雙三角分布等。多維概率分布則主要有：①多項分布；②均勻分布；③n（n≥2）維正態分布等。

因彼得斯公式法、極差法、最大誤差法、最大殘差法和最大方差法均只給出了正態分布下的標準差估計的系數因子，故它們一般不適用于非正態分布時的情形。

4 統計推斷

統計推斷是指根據隨機性的觀測數據（樣本）以及問題的條件和假設（模型），對未知事物作出的、以概率形式表述的推斷。統計推斷是由樣本的信息來推測總體（又稱母體）性能的一種方法，它是數理統計學的主要任務，其理論和方法構成數理統計學的主要內容。統計推斷分為參數估計和假設檢驗兩大類問題。參數估計是假設檢驗的前提，沒有參數估計，也就無法完成假設檢驗。

41 參數估計

運用從總體獨立抽取的隨機樣本對總體分布中的未知參數做出估計，稱為數理統計學上的參數估計，它是統計推斷的一種基本方法。參數估計方法主要分為點估計法（根據樣本構造一個統計量，用以對總體參數進行估計）和區間估計法（又稱范圍估計法，主要是根據置信度求置信區間）兩大類。點估計構造統計量（估計量）的常用方法有：①順序統計量法（又稱次序統計量法）：主要包括最大順序統計量法和最小順序統計量法兩種。②貝葉斯法（又稱貝葉斯公式、逆概率公式、事后概率公式或原因概率公式）：1763年英國統計學家貝葉斯（Thomas Bayes，1702—1761）在其遺作《論有關機遇問題的求解》一文中首先提出。③最小二乘估計法（又稱最小平方估計法）：它可使殘差的平方和為最小，1795年德國數學家、天文學家和物理學家高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777—1855）首先提出其方法，1806年法國數學家勒讓德（Adrien-Marie Legendre，1752—1833）首先用公式表示出最小二乘原理，1900年由俄國數學家馬爾科夫（Andrey Andreyevich Markov，1856—1922）加以發展。④矩估計法（又稱矩法估計、數字特征法）：以樣本矩的某一函數代替總體矩的同一函數來構造估計量的方法稱為矩估計法，1894年英國數學家和統計學家卡爾·皮爾遜（Karl Pearson，1857—1936，被譽為“現代統計學之父”）首先提出。一個樣本可確定一個經驗分布函數，由這個經驗分布函數可確定樣本的各階矩。稱統計量S=1nni=1Xi為子樣一階原點矩（簡稱一階矩，即子樣均值）；稱統計量Sk=1nni=1Xki為子樣k階矩；稱統計量S=1nni=1（Xi-）2為子樣二階中心矩（即子樣方差）；稱統計量Sk=1nni=1（Xi-）k為子樣k階中心矩。⑤最小χ2法：χ2檢驗由卡爾·皮爾遜于1900年首先提出，故χ2統計量又稱皮爾遜公式。⑥最大似然估計法（maximum likelihood estimation method，又稱極大似然估計法）：一種重要而普遍的統計量估計方法，其基本思想始于1821年高斯提出的誤差理論，1912—1922年英國統計學家和遺傳學家費歇爾首先將其應用于參數估計并證明了它的一些性質[9-10]，其后他在工作中加以發展并使其臻于完善[11]。該估計方法在統計推斷中無須有關事前概率的信息，克服了貝葉斯法（Bayes estimation method）的致命弱點，是統計學史上的一大突破。標準差σ的最大似然估計值是=1nni=1（xi-）2=1nni=1v2i， 其中=1nni=1xi。與最大似然估計法相類似的統計估計方法還有極小極大后驗估計法、最小風險法和極小化極大熵法等。

常用于衡量點估計法是否優良的五大準則是：無偏性[12]、有效性、一致性（又稱相合性）[13]、漸近性和充分性。無偏估計和一致估計（又稱相合估計、相容估計）都屬于優良點估計法。衡量區間估計法的優良準則有一致最精確準則、一致最精確無偏性準則和平均長度最短準則等。如果把參數估計用于統計決策，還可采用統計決策理論中的優良準則（如容許性準則、最小化最大準則、貝葉斯準則和最優同變性準則等）。

標準差的現代統計估計方法通常可將其歸納為一般估計方法和穩健估計（robust estimation，又稱抗差估計）方法兩大類[14]。一般估計方法（均屬標準不確定度分量的A類評定方法）主要包括貝塞爾公式法、彼得斯公式法、極差法、最大誤差法、最大殘差法、較差法和最大方差法等，其中貝塞爾公式法最為常用，極差法、彼得斯公式法和最大殘差法次之，最大誤差法特別適用于比較特殊的場合（如一次性破壞實驗等），較差法和最大方差法的應用場合則相對較少。穩健估計方法基本上可分為三類：M估計（經典最大似然估計法的推廣，稱為廣義最大似然估計法）、L估計（即順序統計量線性組合估計）和R估計（即秩估計，來源于秩統計檢驗）。

估計量的數學期望等于被估計參數，則稱其為無偏估計，否則就是有偏估計。無偏估計的系統誤差為零，其誤差用隨機誤差來衡量；有偏估計的誤差則用系統誤差和隨機誤差的合成（即綜合誤差）來衡量。如今，隨著計算機的日益普及和各類數學統計軟件（包括專用數學統計軟件，如SPSS、SAS和BMDP等）的廣泛應用，數據計算繁瑣一些已無技術障礙可言。實驗測量數據的獲得都要付出一定的人力、物力和財力，追求其準確可靠才是其最高目標，因此有偏估計的系統誤差應盡可能地予以剔除。對于無偏估計來說，其統計量的方差越小則越好（表示其精密度和有效性越高）。

42 假設檢驗

假設檢驗（又稱顯著性經驗、統計檢驗）一般分為參數檢驗（適用于總體分布形式已知的情形）和總體分布類型檢驗（又稱分布擬合檢驗）兩大類。參數檢驗方法主要有u檢驗法（又稱z檢驗法，即正態分布檢驗法）、t檢驗法、χ2檢驗法（又稱皮爾遜檢驗法）和F檢驗法（又稱費歇爾檢驗法）等；總體分布類型檢驗方法主要有概率紙法（包括正態概率紙、對數正態概率紙、威布爾概率紙和二項概率紙等）和χ2檢驗法（適用于任意分布）等。在正態性檢驗法中，以夏皮羅（美國統計學家，Samuel Sanford Shapiro，1930—）─威爾克（加拿大統計學家，Martin Bradbury Wilk，19221218—）檢驗法（1965年，又稱W檢驗，適用于樣本數n≤50時的情形）[15]、達戈斯提諾（美國生物統計學家，Ralph BDAgostino， Jr，19290331—20010818）檢驗法（1971年，又稱D檢驗，一種比較精確的正態檢驗法）[16]和夏皮羅─弗朗西亞（Shapiro-Francia）檢驗法（1972年，又稱W′檢驗，適用于樣本數50 兩個樣本是否來自于同分布總體的假設檢驗方法主要有符號檢驗法和秩和檢驗法等。

當未知總體標準差σ時，判別粗大誤差的準則（即異常數據取舍的檢驗方法）主要有：①格拉布斯準則：1950年由美國統計學家格拉布斯（Frank Ephraim Grubbs，1913—2000）首創[18]，并于1969年加以發展[19]；②狄克遜準則（又稱Q檢驗準則）：1950年由美國統計學家狄克遜（Wilfred Joseph Dixon，1915—2008）首創[20]，并于1951年和1953年加以改進[21-23]；③偏度─峰度檢驗準則：偏度檢驗法適用于單側情形，峰度檢驗法則適用于雙側情形[24]；④羅曼諾夫斯基準則（又稱t檢驗準則、3S檢驗準則）：前蘇聯數理統計學家、塔什干數學學派創始人羅曼諾夫斯基（Vsevelod Ivanovich Romanovsky，1879—1954）首創，其檢驗效果最好[25]；⑤3σ準則：僅早期采用，只適用于大樣本數時的情形，因其理論上欠嚴謹且樣本數n

估計標準差s=1n-2ni=1（y-）2主要應用于回歸分析和假設檢驗中[34]。

5 測量不確定度

測量不確定度（measurement uncertainty，簡稱不確定度）是測量結果帶有的一個非負參數，用以表征合理地賦予被測量值的分散性。它是說明測量水平的主要指標，是表示測量質量的重要依據。不確定度越小，測量結果的質量就越高，使用價值就越大。“不確定度”一詞起源于1927年德國理論物理學家和哲學家海森堡（Werner Karl Heisenberg，1901—1976，1932年度諾貝爾物理學獎獲得者）在量子力學中提出的不確定度關系，即著名的測不準原理（uncertainty principle）。自國際計量委員會CIPM（法文Comité International des Poids et Mesures）授權國際計量局BIPM（法文Bureau International des Poids et Mesures）于1980年10月提出《實驗不確定度表示建議書INC-1》（1992年被納入國際標準ISO 10012，1997年和2003年分別予以修訂，中國國家標準GB/T 19022—2003等同采用ISO 10012 ∶ 2003[35]）以后，經過30多年的研究和發展，現代不確定度理論現已形成較為完整的理論體系。

根據2008年版《測量不確定度表示指南》（GUM=Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement）中的規定：不確定度可以用測量結果的標準差（即標準不確定度，它具有可傳播性。當一個測量結果用于下一個測量時，其不確定度可作為下一個測量結果不確定度的分量，這就是不確定度的可傳播性）表示，也可以用標準差的倍數或說明其置信水平區間的半寬度（即擴展不確定度expanded uncertainty，曾譯為延伸不確定度、伸展不確定度）表示。無論采用哪種方法，都需要獲得標準差的數值。

不確定度一般由若干分量組成，其中一些分量可根據一系列測量值的統計分布，按不確定度的A類評定方法進行評定（標準不確定度基于統計方法所進行的評定稱為A類評定，又稱統計不確定度），并用實驗標準差（即有限次測量時總體標準差的估計值，又稱樣本標準差、子樣標準差，主要應用于抽樣推斷和假設檢驗中）和自由度表征（必要時應給出其協方差）。而另一些分量則可根據經驗或其他信息假設的概率分布，按不確定度的B類評定方法進行評定[標準不確定度基于非統計方法（技術規范、實踐經驗和科學知識等）所進行的評定稱為B類評定，又稱非統計不確定度]，也用實驗標準差表征（必要時應給出其協方差），一般情況下可以不給出其自由度。

貝塞爾公式法和極差法是兩種主要的標準不確定度分量的A類評定方法[36-43]，其中文獻[39]給出的結論是：①當A類評定不確定度分量不是合成標準不確定度中唯一占優勢的分量時，則無論測量次數多少（筆者注：因合成時采用方差相加的方法），（修正前）貝塞爾公式法優于極差法。②當A類評定不確定度分量是合成標準不確定度中唯一占優勢的分量時，則兩種方法的優劣與測量次數有關：當測量次數n10”則更為準確），（修正前）貝塞爾公式法優于極差法。

標準不確定度分量的B類評定方法主要有倍數法、正態分布法、均勻分布法（修約誤差、修約前的被修約值、數字儀表的量化誤差等均服從此類分布）、反正弦分布法、二點分布法、梯形分布法、三角分布法和投影分布法等[44-46]，它更多的是依賴于經驗的積累和判斷。B類評定方法常應用于計量基準標準、儀器研制和在無法對比測量的情況下。

不確定度報告應該包括測量模型、估計值、測量模型中與各個量相關聯的測量不確定度、協方差、所用的概率密度函數的類型、自由度、測量不確定度的評定類型和包含因子等。

在實際應用工作中，有效數字的正確取位十分重要，但這個問題卻往往被忽視。測量結果總是以數字形式出現的，而能準確反映測量結果的是其有效數字。有效數字的末位數總是由下一位數進位或舍去而得來的，這就是數字修約。有效數字的定義是：一個數的修約誤差不大于其末位數的半個單位，則該數的左邊第一個非零數字起至右邊最末一位數字都是其有效數字。不確定度的有效數字只能取1位或2位[47-49]。

6 自由度

自由度（degrees of freedom）的定義是：在方差的計算中，和的項數減去對和的限制數[36，50]。自由度反映了實驗標準差的可信賴程度，自由度越大，實驗標準差的可信賴程度就越高。由于不確定度是用標準差來表征的，故自由度可用于衡量不確定度評定的質量，它也是計算擴展不確定度的依據。當對標準差σ取A類評定的標準不確定度s的值時，不確定度的自由度計算公式為[46]：

式（6-1）是自由度估計值的計算公式（此估計值與理論值相比偏小，隨著樣本數n的增大，其估計值越來越接近于理論實際值），其中D（X）/E（X）為統計量X的相對標準差，u（x）為被測量x的標準不確定度，u[u（x）]為標準不確定度u（x）的標準不確定度。顯然，自由度與標準不確定度的相對標準不確定度有關，即自由度與不確定度的不確定度有關，或者說自由度是一種二階不確定度。

不確定度是測量結果的一個參數，而自由度則是不確定度的一個參數，它表征了所給不確定度的可信賴程度。算術平均值標準差的自由度和單次測量標準差的自由度是相同的。

自由度具有尺度變換下的不變性（即隨機變量乘以非零常數，其自由度不變）。對于合并樣本標準差，其自由度為各組自由度之和，即v=m（n-1）。當用測量所得的n組數據按最小二乘法擬合的校準曲線確定t個被測量值時，其自由度v=n-t；若t個被測量值之間另有r個約束條件，則其自由度v=n-t-r。

各種估計總體標準差方法的自由度如下表所示。

每個不確定度都對應著一個自由度，按A類評定的標準不確定度分量的自由度就是實驗標準差的自由度。合成標準不確定度uc（y）的自由度稱為有效自由度veff，它說明了評定uc（y）的可信賴程度，veff越大，表示評定的uc（y）越可信賴。一般情況下，按B類評定的標準不確定度分量可以不給出其自由度。但在以下情況時需要計算有效自由度veff：①當需要評定擴展不確定度Up為求得包含因子kp時；②當用戶為了解所評定的不確定度的可信賴程度而提出此要求時。

7 標準不確定度的A類評定方法

標準差是評定測量結果精密度的一個極其重要的參數，關于各種估計總體標準差統計方法的精密度分析，前人已多有研究[52-56]，但都缺乏深度和廣度，其系統性和準確性也不夠（有時甚至出現一些差錯和遺漏，詳見下文中的相關描述）。下面筆者將詳細闡述各種估計總體標準差統計方法的由來和原理，嚴謹推導出其標準差系數的計算公式，力圖以科學、嚴謹和求實的態度，分別對其系統地做出全面而準確的評介、對比和分析。

71 貝塞爾公式法

貝塞爾公式法（Bessel formula method）[57-63]是一種最為常見的估計總體標準差的統計方法。根據nj， k=1j≠kδjδk=0來推導貝塞爾公式長期以來被一些學者所認同，現已證明其為偽證[64-65]。筆者現根據誤差理論、概率論和數理統計學中的基礎知識，從誤差和標準差的本質和作用入手，利用數學期望和方差公式，采用算術平均值的標準差來推導出貝塞爾公式。

n次測量值的算術平均值為：=1nni=1xi

算術平均值是μ的一致最小方差無偏估計，且不存在比它一致性更好的其他估計量。

德國天文學家和數學家貝塞爾（Friedrich Wilhelm Bessel，17840722—18460317）是天體測量學的奠基人之一，以其專著《天文學基礎》（1818年）為標志發展了實驗天文學，他重新訂正布拉德雷（英國天文學家，James Bradley，1693—1762）星表并編制基本星表（后人加以擴充后成為《波恩巡天星表》），測定恒星視差（1838年）并預言暗伴星的存在，導出修正子午環安裝誤差的貝塞爾公式[即式（71-4）]，導出用于天文計算的內插法貝塞爾公式（此式中的系數被稱為貝塞爾系數），編制大氣折射表并導出大氣折射公式。首創貝塞爾歲首（又稱貝塞爾年首）、貝塞爾假年（又稱貝塞爾年）、貝塞爾日數（又稱貝塞爾星數）和貝塞爾要素等概念，沿用至今。其研究成果還有貝塞爾方程（1817—1824，一類二階常微分方程）、貝塞爾不等式（1828年）和貝塞爾地球橢球體（1841年）等。1938年2月24日發現的國際編號為1552（1938DE）號的小行星后被命名為“貝塞爾星（Bessel）”，這是對他最好的紀念和褒獎。

貝塞爾方程兩個獨立的解分別稱為第一類貝塞爾函數Jn（x）和第二類貝塞爾函數Yn（x），Hn（x）=Jn（x）±iYn（x）則稱為第三類貝塞爾函數，其中第二類貝塞爾函數又稱為諾伊曼（Carl Gottfried Neumann，1832—1925）函數或韋伯（Heinrich Martin Weber，1842—1913）函數，第三類貝塞爾函數又稱為漢克爾（Hermann Hankel，1839—1873）函數。諾伊曼、韋伯和漢克爾均為德國數學家。

在規范化的常規測量中，若在重復性條件下對被測量X作n次測量，并且有m組這樣的測量結果，由于各組之間的測量條件可能會稍有不同，因此不能直接用貝塞爾公式對總共m×n個測量值計算其實驗標準差，而必須計算其合并樣本標準差（又稱組合實驗標準差）[77]，即：

上式中，xjk是第j組第k次測量值，j是第j組n個測量值的算術平均值。

當各組所包含的測量次數不完全相同時，則應采用方差的加權平均值，權重（即自由度）為（nj-1），此時的合并樣本標準差為：

上式中，nj是第j組的測量次數，s2j是第j組nj個測量值的樣本方差。

在一些常規的日常校準或檢定工作中，采用合并樣本標準差往往會取得良好的效果[79-81]。

以下選用最為常用的修正前后貝塞爾公式法作為其他各種估計總體標準差統計方法的比較基準。

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篇5

一、《統計學原理》簡介

《統計學原理》是一門集搜集、整理和分析統計數據于一身的方法論科學，它主要用來研究數據的內在數量的規律性。進行統計分析的基礎是獲得統計的數據，而數據的收集與分析之間有一個必不可少的環節就是對統計數據的整理，統計學的核心內容就是統計數據的分析。

《統計學原理》的基礎是統計學科在各個領域中的普遍應用，它的出發點是要解決實際的問題，統計方法論的實際效用是它的側重點，把定量分析與定性分析有機的結合起來。它把理論和實踐相聯系，這樣對學生在實際工作中的實際操作能力有促進作用。

《統計學原理》主要包括：統計學的研究對象和方法、統計學的基本范疇、統計調查的意義、統計調查的方法、統計整理的內容、統計分組、統計分布、統計表、總量指標、相對指標、變異指標、綜合指標的應用、樣本和總體、抽樣估計的方法、假設檢驗方法、相關圖表和相關系數、回歸分析、綜合指數和平均指數、指數數列等等。

二、《統計學原理》與計算機科學相結合的必然趨勢

在科技高速發展的現今社會，信息化是主要的趨勢，自然而然信息化的需求也就越來越突出，對于人們來說，通常都要對大量的數據進行收集，并且還要對所收集的數據進行仔細的分析，分析過后還要對一些有價值的數據進行提取，提取過后再做出正確的決策。《統計學原理》就是一門對怎樣合理的進行數據收集、整理以及分析并進行研究的學科，在人們制定一些決策時，都要把它作為主要的依據。那么，對于現代統計方法來說，它和現代信息處理技術是分不開的，隨著計算機運行能力的不斷提高，對于大規模統計調查的數據的處理來說，就會顯得更加的精確以及方便快捷。所以，《統計學原理》越來越不可能脫離計算機技術，當然，計算機技術的應用的深入，也同樣不能離開《統計學原理》的發展以及完善。對計算機技術進行充分利用，并通過計算機軟件將統計方法中比較復雜的計算構成進行簡便化，統計輸出的結果就一目了然了，這樣，統計方法的普及就會顯得非常容易了。所以，在對這門學科進行學習時，不但要把統計方法學好，還要會對商品化統計軟件進行充分的利用，對計算機信息系統開發的一些基本思想以及計算機基本程序的設計要進行掌握，除此之外，還要學會通過編程來把具體單位的統計模型進行實現，從而把統計決策支持系統建立起來。

總的來說，把《統計學原理》和計算機以及信息相結合起來這是一個時展的產物，是一個必然的趨勢。只有正確的把《統計學原理》與計算機有機結合起來，才能使統計擺脫傳統的復雜計算，從而變得越來越簡便，越來越科學化。

三、《統計學原理》在教學過程中的應用--以相關系數的計算為例

（一）利用基本公式計算相關系數促進理解推導過程

對于相關系數的基本公式來說，就是要把方差標準化消除具體單位，從而轉化為統一量綱的相對數，這樣，對不同單位的資料進行對比就方便了許多。在利用基本公式計算相關系數時，需要對兩個變量的標準分進行計算，手工計算繁瑣費事，在excel中可以輕松實現。

那么，在Excel中能夠實現數據標準化的就是STANDARDIZE函數，它是返回平均值是mean，標準差是standard-dev的分布的正態化數值，計算標準分是以平均數和標準差為基礎的。對于STANDARDIZE函數來說，它需要對平均數和標準差進行輸入，可以利用AVERAGE函數來對平均數進行求解，求標準差是用STDEVP來實現的。下面以某省近幾年的城鎮居民家庭可支配收入和消費性支出為例，來對操作過程進行演示。在Excel表格中點B10單元格，輸入AVERAGE（B3:B9），這樣就求出了可支配收入的平均數為9966。點B11，輸入STDEVP（B3：B9），這樣就求出了標準差為2404。選擇與原始數據同樣數目的單元格（D3：D9），用STANDARDIZE函數，根據具體要求對參數進行輸入，x輸入（B3：B9），mean參數就是要求輸入平均數，直接點擊B10引用即可，standar_dev參數是要求輸入標準差，則點擊B11進行引用。按F2進行數組操作，然后按shift+ctrl+enter，就對可支配收入進行了標準化，數據顯示在（D3：D9）。對消費性支出做同樣的操作，在（E3：E9）輸出標準化數據。對兩個變量進行標準化后，需要計算兩個變量標準分的乘積。選擇F3單元格，輸入“=D3*E3”，點擊回車鍵就得到了第一個乘積，然后下拉單元格并進行復制，就在（F3：F9）得到了所有的乘積。最后對這些乘積的平均數進行計算，選擇F10，利用AVERAGE函數求出平均數為0.999615，這個就是遵循基本公式，按照步驟求出的積差相關系數r。

按照上面的這些步驟對相關系數進行求解后，為保險起見，最好利用excel中的其他方法再次計算相關系數，是各種方法進行相互的驗證，這樣也方便對各種計算公式的推導過程進行理解。可以直接在工具菜單下的數據分析功能中選擇相關系數項進行計算，這種方法也就是大多數統計實驗課程采用的方法。excel中的correl函數是直接利用計算相關系數，而與correl函數不同的是，pearson函數直接用簡捷公式求相關系數。這三種計算方法與上面利用基本公式的計算出的結果是相同的。

在利用實際數據計算相關系數之前，要先讓學生對經濟學中消費和收入的相關理論進行回顧；計算后再加以總結，宏觀經濟學認為消費支出與可支配收入存在函數關系，上面的計算的相關系數近似等于1，這就說明了兩者存在線形相關的密切程度是十分大的，也就是對這一理論的成立進行了證明。這一步驟有助于引導學生利用統計學驗證經濟理論，也對統計學的實用性進行了充分的證明。

（二）驗證回歸直線斜率與相關系數的關系促進理解幾何意義

對可支配收入和消費性支出兩個變量的原始數據進行標準化，這樣就得到兩組消除了量綱的數據，那么根據這兩組數據來畫出最優擬合直線，那么，表示相關系數的就是直線的斜率，這也就是相關系數的幾何意義。回歸直線可以按照最小二乘法，通過原始數據來得出，直線斜率b就表示了消費性支出隨支配性支出的變化程度。相關系數r作為標準化數據的斜率，只要乘以一個數字就可以還原為原始數據的斜率b。我們同樣可以用excel函數SLOPE來對兩個斜率進行求解，然后加以驗證。對于上面的計算，我們還可以繼續，就是點擊G3，輸入函數SLOPE（E3：E9，D3：D9），得到標準化數據的斜率0.999615，這得到的就是相關系數。點擊G4，輸入函數SLOPE（C3:C9，B3:B9），得到原始數據的斜率0.617952，此斜率表示可支配性收入每增加一元則消費性支出就增加0.62元。在G5輸入“=C11/B11”，得到的數值0.61819。可以在G7單元格輸入“=G3*G5”驗證b和r之間的推算關系是成立的。

四、結語

總之，學習《統計學原理》不單單能使人們的思維方式從主觀向客觀進行改變，而且對于提高人的綜合分析能力也有十分重要的幫助，并且具體行為也能變得客觀正確。所以，對于人們來說，學好這門課程是十分重要的，只有學好了這門課程，才能在眾多領域進行更好更正確的應用。

參考文獻

篇6

將2012年8月至2013年8月在我院接受治療的39例患者作為研究對象，所有患者均自愿參加本次實驗。患者中男19例，女20例。年齡41~81歲，平均年齡（53.26±3.28）歲。首次接受根治性放療的患者39例，患者的病灶部位有胸下段、胸中段以及胸上段三處。其中病灶位于胸下段的患者有5例，病灶位于胸中段的患者有13例，病灶位于胸上段的患者有21例。

1.2擺位誤差測量方法

建立坐標系，規定x軸為患者的左、右方向，y軸為患者的胸、背方向，z軸為患者頭、腳方向，其中患者的右方向、頭方向以及后方向為坐標系的正方向。以順時針沿x軸以及z軸旋轉的方向為正方向，逆時針方向為負方向，利用圖像引導、以CT模擬定位圖像作為參考圖像，以頸椎和胸椎的椎體作為參考標志，將CBCT掃描重建后的圖像與CT模擬定位的圖像，在圖像引導下在線進行自動配準和人工配準，獲得誤差數值。

1.3設備

23EX直線加速器（瓦里安公司），機載圖像引導系統，機載錐形束CT，熱塑面膜（戈瑞公司）。

1.4數據處理

計量資料使用均數±標準差（x-±s）表示，使用t檢驗計量資料，采用SPSS16.0統計學軟件對個體隨機誤差、個體系統誤差進行正態性檢驗。利用配對t檢驗比較相關指標的差異，P＜0.05，數據間差異具有統計學意義。

2結果

2.1擺位誤差

在放療時，對所有患者均采用熱塑面膜進行固定，重復模擬定位，利用三維激光燈，按物理計劃要求擺位后，對患者進行CBCT掃描，每個患者每周1次CBCT掃描，各掃描5次，共計195次。所有患者的隨機誤差以及個體系統誤差均服從正態分布。

2.2CTV和PTV之間的間隙值

所有患者在x軸、y軸以及z軸上平移的個體系統誤差的標準差分別是3.01、3.51、1.86mm；在x、y以及z軸上個體隨機誤差的標準差為1.61、2.11、1.16mm。根據公式（Mptv=2.5×系統誤差的標準差+0.7×隨機誤差的標準差），計算CTV和PTV之間的間隙值。其中x軸、y軸以及z軸上CTV和PTV之間的間隙值分別是8.65、10.25、5.46mm。

篇7

筆者長期擔任《社會統計學》教學，發現大部分學生為文科生，數學基礎差，課程負擔重，如何增強學生利用所學統計學知識，解決實際生活尤其是走出校園參加工作后學以致用是當前課程教學改革的重點和難點。

一、當前社會統計學教學存在的問題

（一）教學內容的針對性不強

一本高質量的《社會統計學》教材，既需要像數理統計一樣，講清講透基礎統計學原理和知識，又要明晰研究內容和研究對象，闡釋清楚與其他應用統計學的區別。而當前的《社會統計學》主流教材，都存在側重于其中一方，能夠做到兩方面兼顧得很好的教材幾乎沒有。如目前高校使用量較大的教材有盧淑華的《社會統計學》，偏重于數理統計的理論推導，蔣萍的《社會統計學》盡管對研究對象有清晰的定位，但是需要學生具有一定的數理基礎。目前的統計學教學中一般采用理論講解為主的教學模式，教師主要依托教材，對與統計學相關理論和方法逐一進行介紹，對涉及到的公式和定理進行推導。因此，當前社會統計學最需要解決的問題就是盡快編撰一本如何將統計學知識運用到具體的社會問題研究或者實踐中去的優秀教材。

（二）教師的水平參差不齊

目前不少院校的社會統計學教師隊伍主要來源于兩塊，一是外聘數理統計學的教師教授《社會統計學》課程，這些老師上課更多的偏重理論講解和推導，讓學生掌握比較扎實的基礎統計學知識。由于他們對社會學、社會工作等文科專業不熟悉，課堂講解中不能結合專業領域內的社會調查和案例來分析講解。導致學生學習起來壓力大，覺得枯燥無味，在面對社會現象時不知道怎么利用所學統計學知識分析和闡釋社會現象。二是社會學專業背景老師講授《社會統計學》，這些老師由于沒有系統接受過數理統計學的訓練，對于統計學的數理部分往往一知半解或者干脆略過，教學中更多的偏重例題分析和軟件的使用。

（三）學生的學習態度不端正

學習社會統計學的學生多為文科生，在進入大學前，就是因為對數學等學科的害怕才選擇報考文科專業。而統計學需要一定的概率論和微積分等數學基礎，所以學生一看到社會統計學中涉及的數學知識就頭疼，認為自己很難學好，產生先入為主的畏難心理，對自身的學習能力信心不足，缺乏動力，提不起興趣，部分學生甚至在遇到困難時主動放棄統計學的學習。學生認識不到社會統計學與其它應用統計學相比，有其自身特點：研究對象為人類行為、政治文化等社會現象；所需具備的數理知識要求相對較低，更側重于對統計結果的理解和解釋；社會統計中收集到的資料，往往很多是低層次的變量，如定類、定序變量。因此，定類、定序變量統計分析在社會統計學中占有很大的比重，討論變量之間的關系，如列聯表、列聯強度，相關關系的測量是學習的重點。

二、以就業為導向的《社會統計學》教學改進措施

（一）統計思維改進法

1、統計無用論向統計實用論的轉變

社會統計學作為一門定量分析工具，是社會科學科學性的實現工具，尤其是隨著中外學術交流的加強和規范化，近些年高級統計學的發展，統計學在社會科學的發展中扮演著越來越重要的角色。學好統計學對于本科生考研或者將來從事學術研究，都是必不可少的知識，尤其是社會學、社會工作、公共管理等專業的考研，社會統計學是必考科目，也是導師特別看重的學生必備能力之一。二是社會統計學作為一門實用性很強的工具，現在很多企業、調查公司等在招聘的時候非常看重應聘者統計學的知識和能力，熟練掌握和應用EXCEL、SPSS、STATA、SAS等統計分析軟件，可以極大增加就業機會和就業籌碼。

2、教學過程中的定量思維與定性思維的結合

社會統計學作為定量分析工具，需要學生具有較強的數學分析思維和邏輯思維，所以統計學中有大量的公式和推導過程。作為教師，在教授過程中在講清楚原理和推導過程的同時，需要根據文科學生的特點，用定性的話語和思維解釋清楚來龍去脈。

例如對于標準分的理解，盧淑華是這樣解釋的：“標準分Z的意義在于它是以均值為基點，以標準差σ為量度單位，計算x取值距離標準差的距離，以便進行不同的μ和σ之間進行比較。”不同的變量一般有不同的均值和標準差，統計上，不同的均值和標準差是不能互相比較的。例如甲乙兩名學生在兩個不同的班級考了同一門《社會統計學》課程，他們的成績如下：甲同學考了80分，乙同學考了90分。已知甲班《社會統計學》的平均成績是70分，標準差是10分；乙班《社會統計學》的平均成績是70分，標準差是20分。請問甲乙同學在本班中誰的成績更好？通過標準分計算，兩者的標準分都是1，說明兩名同學在班級的成績排名是一樣的。經過定性的案例分析講解，學生就能明白為什么曾經一度在高考中引入標準分的原因了，以使不同考區的學生以相對公平的分數被錄取。

3、數理思維向理解思維的轉變

實質上，學習統計學的過程，就是學習統計思維的過程，而不只是公式的簡單套用和通常的數字計算。統計學有嚴格的前提假設和適用變量層次，是一門量化分析工具，我們在實際運用中，不能為了分析或者所謂的科學性而濫用統計方法，用統計數字代替科學推理，犯了社會學家鄧肯（Duncan）所說的統計至上主義（statisticism）。統計數字會撒謊，正如桑普拉斯所說：“統計未必能夠揭示真實，有時候還可能成為假象的幫兇。”因此對于統計學的學習，除了養成良好的統計思維外，還需要我們具有扎實的理論基礎，規范的社會調查研究方法和對統計方法的甄別使用和統計結果的合理解釋。社會統計學課程的學習更看重的是學以致用，用所學知識科學的分析和解釋社會中的現象。正如我們學會游泳前不一定要了解動力學的知識，會使用計算機不一定要先懂得編程一樣，理解計算機的輸入和輸出結果比知道計算機如何計算重要得多。

例如學生對于假設檢驗的原理很難理解，我們可以通過舉例讓學生理解假設檢驗的思路。在航天火箭發射前，沒有任何人能夠事先證明火箭發射是安全的，人們最多只能說，用現有手段沒有發現問題。但是，只要發現一個影響安全發射的問題，那就不能發射。這說明，企圖肯定什么事情很難，而否定卻要相對容易得多。物理學以及其他科學都是在否定中發展的，這也是假設檢驗背后的哲學。假定原假設火箭發射是安全的，即使通過研究假設也無法否定原假設，也不能說明原假設是正確的，就像用一兩個儀器沒有發現火箭有問題還遠不能證明火箭是安全的，但是只要在原假設成立的前提下，出現了小概率事件，我們就認為原假設不成立，那么航天火箭就不能發射。

（二）統計應用推動法

1、開展課外調查活動

引入以“提出問題―分析問題―提出假設―驗證假設”為流程的基于問題的學習方法（Problem Based Learning，PBL）來開展課外調研活動。組織學生以小組為單位，選擇和確定實踐課題，成立以6―7人為一組的若干個項目小組，并選出各組組長。當然，研究課題可以是學生日常生活中所關心的問題，如大學生校園戀愛觀的調查、大學生消費行為調查、學習時間調查、學習成績調查、課余活動、生活習慣、自媒體使用情況調查；也可以是社會生活中的熱門現象，如獨生子女價值觀、二孩生育行為、觀念，貧困人口認定與幫扶等調查。讓學生通過利用所學的社會調查研究方法，科學選題、做好研究設計、設計問卷、選擇合適的抽樣調查方法、收集資料、利用統計軟件分析數據，撰寫調查報告來學習和使用統計學知識分析和解釋社會現象。這樣不僅可以有效解決由于實訓基地、實習經費的限制所帶來的不便，而且這種調查貼近學生生活，容易入手，易于激發其興趣，并且有助于加深對統計學原理的理解，明白統計學就在身邊，與我們的生活息息相關。

2、使用統計軟件法

有針對性的將Excel、SPSS、STATA，SAS等統計應用軟件作為社會統計學課程的實訓內容。在課堂講授時，可以教會學生使用Excel函數、Excel圖表與圖形以及Excel數據透視表來處理常用的統計數據。有條件的話可以安排在計算機房上課或者安排一定量的學時讓學生在計算機房上機操作SPSS等軟件，培養學生運用統計軟件搜集、整理、分析統計數據的能力。

3、加強社會統計學的實習實踐

與當地的政府部門、市場調研公司、市場咨詢公司、專業的調查機構、相關企業建立協作和參與機制。讓學生學會如何開展調查、如何獲取資料、如果統計分析資料，所獲取的統計分析數據是如何指導工廠、企業等單位的生產運作的。例如：學生通過參與公司的市場調查，了解公司的產品是如何定位顧客、細分市場的；參觀地方政府統計部門的日常統計和上報統計報表，了解政府統計是如何進行的；學生參與各社區或者街道的貧困人口統計、人口普查等調查。

（三）統計課程革新法

1、建立完善的社會研究課程體系

社會研究課程體系是指教授學生如何在理論的指導下通過各種科學的方法進行調查與創新性研究的一系列課程。主要包括“社會調查研究方法”、“社會統計學”、“SPSS統計軟件應用”等課程。盡管目前各高校都開設了這幾門課程，但在實際教學過程中，一般都是分學期開設，由不同的老師授課，導致有些內容重復，例如抽樣調查，在“社會調查研究方法”、“社會統計學”中都會涉及，理論學習和實踐脫節，例如“社會統計學”、“SPSS統計軟件應用”分別在不同學期開設。建議高校開設課程進行改革，由固定的老師來講授社會統計研究課程體系，將“社會統計學”、“SPSS統計軟件應用”整合為一門課程，并合理設置理論學習和實踐教學的課時。

2、建立社會統計學案例庫，試題庫

篇8

中圖分類號：R544.1 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2015）03（b）-0232-01

高血壓屬于很多心腦血管疾病的一個重要原因以及一個非常重要的危險因素，在高血壓患者血壓升高的過程中，也升高了有關方面的血壓變異性特點，而變異發生的程度和心腦血管疾病發生的概率有著一定的相關聯系。所以說對于高血壓患者進行血壓降低的時候，也應當注重進行血壓變異性的降低。替米沙坦氫氯噻嗪膠囊可以說是一種復方制劑，也是一種對于高血壓來說非常有效的藥物，其聯合用藥的過程中能夠產生與劑量有著明顯關系的作用，而且沒有比較大的不良反應。在2012年6月～2013年6月之間，該研究者通過有關資料觀察了替米沙坦氫氯噻嗪對于血壓變異性所產生的一系列的影響，現報道如下。

1 資料與方法

1.1 臨床資料

對于門診原發性的高血壓患者資料進行收集，都符合有關防治指南之中的收縮壓標準以及舒張壓標準。在排除繼發性高血壓、嚴重心腦血管病、甲狀腺功能亢進以及惡性腫瘤等疾病之后。一切患者都停止服用藥物，并在接受洗脫之后進入到試驗當中。實驗有著相應的入選標準。

其中有158位病人納入到了研究的過程中，包括93位男性，65位女性，年齡在42～70歲之間，這些人都經過了相應的安慰藥治療，也就是洗脫的過程，在之前通過血壓監測儀對于其血壓進行檢測，并依照夜間收縮率的下降進行分配。

1.2 治療方法

所有患者都進行ABPM治療，在進行洗脫階段之后，清晨空腹進行替米沙坦氫氯噻嗪膠囊的服用，如果說DBP的含量小于某種標準的話，則維持原劑量，不然的話則增加一倍劑量，服藥時間一共有8周左右。

1.3 觀察指標

對于全部患者的性別、年齡以及吸煙、冠心病、糖尿病等病史進行一定的了解，并對一切患者進行生物化學常規檢查，對于空腹血糖以及腎功能和肝功能等方面進行一系列的檢查，并對于數據進行記錄。

在治療前后進行ABPM的檢測：患者全部不準喝酒，每天吸煙的數量控制在5支以內，每天服用的食鹽少于6g，對于脂肪攝入進行控制。在治療之前以及之后8周的時間之中進行ABPM的檢測，并采用美國的進口血壓監測儀進行動態的監測。監測方法為，在患者左上臂處綁上袖帶，以24小時為周期進行檢測，白天每半小時進行一次測量，有效檢測次數應當占據測試次數的80%以上，如果說指標超越某個值的話，也就判定為無效數據，需要重新進行測量，統計項目是：第一，在24小時之內的平均舒張壓以及收縮壓；第二，在白天平均的收縮壓和舒張壓；第三，在夜間平均的收縮壓以及舒張壓；第四，在24小時內收縮壓以及舒張壓的標準差；第五，在白天收縮壓以及舒張壓的標準差；第六，在夜晚收縮壓以及舒張壓的標準差。依照上述時段的參數能夠得到很多重要的信息內容。

1.4 統計方法

利用正規的統計軟件展開相應的數據分析，所有的數據表示方法都是比較規范的，在組間進行的比較都采用t進行檢驗，兩組治療前后利用配對t展開相應的檢驗，其數據有著相應的統計學意義。

2 結果

2.1 比較兩組患者全身因素

相對于勺形高血壓組來說，另一組的患者有著較高的缺血性腦血管病以及冠心病的歷史，但是高血壓的疾病歷程相對來說比較長，不過在吸煙以及糖尿病史等方面來說，兩組之間的差異并不具有統計學方面的意義，對于一些數據分析來看，兩組之間的血脂以及血糖水平也沒有相應的統計學意義。

2.2 比較兩組患者血壓變異性

相對于非勺形高血壓組來說，另一組在治療前24小時，白天以及夜間DBP以及SBP的標準差都出現了降低的情況。相對于治療之前來說，兩組治療之后24小時，白天以及夜間的DBP以及SBP標準差出現降低，不過兩組之間的差異并不具有統計學方面的意義。

3 討論

在這些年來，國內外對于流行病學的研究以及討論結果表示，高血壓患者之中，心腦血管疾病發展以及發生的一項非常重要的因素就是血壓的變異性，其所具有的預測作用比平均血壓要大得多。血壓變異性指的就是在某個時間段之內，血壓展開波動的范圍，反映了血壓跟隨血管的節律以及反應性展開的變化，通常有一定的表示方法，也是在均值之外一個獨立的指標。所以說，治療高血壓，并不需要將24小時之內的血壓值降低，還應當在這段時間之中，平穩持久的進行降低，這樣一來才可以更好地防止高血壓傷害心臟和大腦等器官，并且能夠進一步減少心腦血管事件的出現，避免給人體造成各種各樣的危害或者說其他方面的危險情況。

篇9

一、引言

當今社會，科學技術日益革新，統計思想逐步成熟，統計工具也被應用于統計領域，該領域也隨之得到延伸和發展。而所謂的統計學其主要的內容是通過對數據的收集、統計、整理分析、數據處理等方法，從而更加深入的發掘數據存在的內部規律，以達到更科學、更合理的解釋客觀事物的目的，加深對該事物的認知。在具體工作和現實生活中，很多客觀規律的分析及歸納是運用統計的方法實現的，通用的操作方法如下：首先需要在分析之前對客觀事物進行研究和設計，了解該事物的基本特點；其次針對該事物進行抽樣調查，調查的范圍要全面；再次利用相應的統計軟件和數學思想，建立相應的數學模型，對抽樣的結果進行統計分析，讓數據呈現一定規律；最后便是根據統計分析的結果作出結論性成果，以便能更加深入的研究及分析客觀事物存在的內在規律和普遍性原則等。統計學被應用的領域廣泛，本文主要針對統計學在財務方面進行研究。

二、統計學應用于財務方面的意義

（一）將統計學應用于財務，能滿足企業和行業對產值、資金等方面的計算需求。行業或企業財務數據極為龐大，運用統計方法進行財務統計，便于反應企業或行業的勞動成果和產能產效，為國家統計國內生產總值、人均GDP等提供數據支撐。

（二）將統計學應用于財務，可以幫助企業或個人進行負債核算、資金流核算等，提供基礎數據。運用統計學進行財務統計，既可以作為分析企業經濟實力的標準，又可以將統計的數據作為核算資產負債的數據來源。

（三）將統計學應用于財務，可以用于研究分析個人、企業、國家三者之間的利益分配關系，通過統計學研究出的普遍性規律來制定符合大多數人需求的收入分配制度，從而達到合理調整利益關系的目的。

三、如何合理運用統計學解決財務管理問題

（一）利用統計學方法進行財務的收益與風險計算財務管理的過程中，經常需要計算財務收益與風險，而對應在統計學中即為算數平均值與標準差的計算。比如,企業在運營過程中，需要計算期望現金流量,往往在現實運營過程中，存在諸多影響未來現金流量的不可控因素，因此計算出的未來的資金流量存在很大的不確定性，但如果采用單一的現金流量，在一定程度上可以保證現金流量的確定性，卻不能全面的反應企業的資金運營情況。在這種大背景下，可結合統計學方法，如期望現金流量法，計算未來的現金流量，能提高計算的準確性，取得較好的效果。此外，在企業財務管理的過程中,需要運用到許多基于統計學的財務預算方法，如在預測資金需求量的情況下，可以運用回歸法預測、平滑法預測等。當今，基于統計學原理，已經形成了很多專業的財務預算方法，如：預計資產負債表法、線性回歸法等，這些方法的運用，加快了財務管理的效率，為財務人員處理龐大的財務數據提供了方法。

（二）利用統計學方法進行審計統計抽樣抽樣調查是統計學常用的統計方法，而審計抽樣,則是抽樣調查在財務應用的體現，主要是指審計人員在審計時，審查主體數據量比較龐大，因此僅抽取部分樣本進行審查分析，通過分析抽取樣本的審查結果,從而大致推斷出總體的審查結果，這也是我國財務審查的主要方法之一。統計抽樣之前需要先進行假設檢驗，即在抽樣調查之前需要確定抽樣規模、范圍、基本參數等，之后還需對選取的樣本進行初步審核。若在實際審查的過程中，抽取的樣本不能滿足審查要求，還可對樣本的規模進行逐步擴大，以達到抽樣結果的特征與總體情況基本相符的目的。在審查的最后，根據樣本的審計結果進行推導，從而得出基本符合總體特征的結論。在實際的審計過程中，抽樣的方法有很多，如貨幣單位抽樣、變量抽樣等。而在選擇抽樣方法時，審計人員應該根據審計的目標、效率及審查總體的特征合理選擇，以達到審查的最終目的。

四、統計方法在財務管理中的應用

當今社會，統計學方法被大量應用于財務管理的各個方面，其最終目的在于提高財務管理的效率，分析財務活動的合理性，為財務活動的預測、決策、控制等提供科學依據。本文從收益率的預測、概率圖的運用、數據的準確性及數據變異系數的分析四個方面著手，對統計學在財務方面的應用進行研究分析。

（一）預測未來收益率，提高企業收益。一個企業在實際運營過程中，能很好的把控未來的發展狀態及收益情況，是企業發展的重要途徑。利用合適的統計學方法可以實現利用已有的數據預測未來一段時間的數據。對應到企業中去，即運用統計學的方法，對企業現有的資源進行統計分析，預測未來一段時間內的收益情況，從而根據預測的收益率指定相應的實施方案，從而達到提高企業收益的目的。

（二）利用概率分布圖，進行數據分析及投資決策。在具體的財務管理過程中，可利用統計學方法對已有數據進行處理，并根據需求繪制相應的概率分布圖，那么各種數據的變化規律便一目了然，以便于決策者根據其變化規律進行投資或運營。比如在計算企業未來收益率時，可以根據現有的數據進行統計分析并繪制出一條概率與結果近似關系的連續性曲線，并根據該曲線推導出未來的收益率，從而進行投資決策。概率圖有兩個最主要的特點：概率分布圖越集中，則其預期結果越趨向于實際結果，則其風險越小，投資回報率越高。當所得到的概率分布圖越集中時，則說明實際結果越有可能接近預期值；反之，概率分布圖越稀疏，則實際結果與實際結果的差距越大，風險也越大。

（三）利用標準差，確保數據的準確度。在財務的實際管理過程中，經常需要確定數據的準確程度，而財務人員通常是是利用統計學中的標準差的大小來判斷所得到數據的精確程度。計算標準差的步驟如下：第一，根據現有的數據進行預測，得出收益的預測值；第二，將收益率的預測值和實際值相減，得到離差值；第三，計算概率分布方差，即將離差值求平方，并將得出的平方值與預測值相乘，再將這些乘積相加；第四，對方差進行開方計算，得到標準差。

（四）運用數據變異系數，度量單位收益風險。變異系數是標準差與平均數的比值，主要是用來衡量數據的變異程度，即用于度量單位收益下的所面臨的風險。這種單位收益的風險判斷為企業的決策提供了有效的借鑒。因為變異系數既能計算風險還可以反映企業收益，因此在企業的財務管理中被大量應用。

五、結論

企業或行業的財務管理過程中會面臨大量的數據處理，合理利用統計學方法進行數據的統計及分析，對簡化數據處理，提升數據準確度、精確度，甚至對于財務決策等各方面均有所助益，因此，將統計學方法引入財務管理具有非常重要的意義。

【參考文獻】

[1]李金昌.關于統計思想若干問題的探討[J]．統計研究．2006，(3)．

篇10

傳統的僅憑卷面分數和平均分數評估學生學習成績和教師教學效果的方法，帶有片面性。因此，諸如由學生各科卷面總分排名來評定獎學金，確定畢業分配時的優先分配政策，由主觀制定的卷面分數段的比例大小和僅由平均分數的高低評估教師效果的好壞，是不合理的，本文給出一種新的評估體系供大家參考。

一、平均分數體現整體水平

1、某班某學科的平均分數

x1=

2、求N個班某學科的平均分數應“加權”

x=

其中x表示加權平均數，ki表示第i班總人數，xi表第i班平均分數。

二、標準差反映平衡程度

除了解體現整體水平的平均分數外，還應了解每個人的分數離班平均分數的偏差大小。因此可以利用數理統計中的標準差計算公式

δ=

（其中x為卷面分數，x為平均分數，N為全班總人數）。例如，甲乙兩班同一科的平均分數都是81.5分，標準差依次為9.2和10.3，從而知甲班比乙班要穩定些，發展平衡些。

三、“標準分”取代卷面分來評估每個學生學習成績的總體水平

在評先、評優和獎學金中，常要比較學生成績的優劣。例如：某班數學卷面平均分數為:x1=69.4，標準差為δ1=8.5。語文卷面平均分數為:x2=87.6，標準差為δ2=10.5。學生張某數學60分，語文94分。王某數學83分，語文68分，按傳統的方法認為：張總分154比王151分多，因此張優先于王。這種評估是不合理的，原因是各科之間的卷面分數的參照點（零點）與單位都不同，不能相加求和來互相比較。

在現代的體育統計和有關統計文獻中，都采用“標準分”（符號意義同上），即學生的成績 與班平均分之差比標準差。這樣能統一尺度，具有合理的可比性。如張和王的成績可以合理的評估如下(表1)：

表1

(注:習慣用正分，故一般取T=10Z+50，T分大約在20至80之間。它是把Z分擴大10倍，又往后平移50，消除了負數。)結果張兩科總標準分95次于王97.3，與卷面分數結論相反，標準分反映學生在全體考分中的相對位置，故又稱相對分。至于不同班級、不同學科的總分，由于試卷有難易之分等因素，更應采用標準分。

四、考試分數合理分布的評估依據

怎樣評價一班的考試分數的分布是否合理，依據是什么？以前有關文獻都認為:卷面分X是正態隨機變量X～N（x，δ2），標準分Z服從標準正態分布Z～N（0，1）。但都沒有加以論證或進行實際的統計分析。因此有些提法不盡妥當：因為樣本平均分數x與樣本標準差δ均為統計量，是隨機變量，而正態分布的兩個參數都是常數；如果X是隨機變量，X～N（μ，δ12），X1，X2，∧XN是來自總體X的樣本，則x是μ的無偏估計。δ是δ1的極大似然估計，一般地其觀察值x≠μ，δ≠δ1，所以X～N（x，δ2）的提法不妥。而且也推不出Z～N（0，1）（證略）。

但是，通過多年來對我校各個教學環節情況比較正常的教學班的考試分數的統計分析發現標準分Z是近似服從標準正態分布的（有文獻曾認為或假設Z近似地服從標準正態分布的說法）。由數理統計學可知：隨機過程可以用族中的典型樣本函數來表征。因此我們可以把Z近似地看作服從標準正態分布的隨機變量，從而以標準正態分布作為評估學生考試分數合理分布的依據，根據“3δ”原則換算出標準分的合理分布評估依據：分段比例和累計比例。

轉貼于

（1）分段比例：

T≤20的比例為0.0013

40＜T≤60的比例為0.6826

30＜T≤70的比例為0.9544

20＜T≤80的比例為0.9974

T＞80的比例為0.0013

（2）累計比例：

T≤30的比例為0.0228

T≤40的比例為0.1587

T≤50的比例為0.5000

T≤60的比例為0.8413

T≤70的比例為0.9772

T≤80的比例為0.9987

記:│（取T≤20的人數／總人數）－0.0013│=A1

│（取T＞80的人數／總人數）－0.0013│=A2

│（取40＜T≤80的人數／總人數）－0.6826│=A3

│（取30＜T≤70的人數／總人數）－0.9544│=A4

│（取20＜T≤80的人數／總人數）－0.9774│=A5

則ΣAi=A1+A2+A3+A4+A5的值越小說明說明分布越合理。并在記分冊中增加“平均分”，“標準差”，“標準分T”三欄，以方便教學管理部門進行評估。

五、統計分析實例

以我校2005級會計一班數學成績為例見表得知（見表2，表3），是基本符合標準正態分布的。同時發現，越是成績好的學生，各科卷面總分和標準總分排名基本相同，且各科成績越平衡；越是各科成績不平衡的，卷面總分與標準總分排名就相差較大（如第3，24，26學號），由此說明由標準分來評估學生學習成績的總體水平是合理的科學的。

表2：分段比例對照

表3：累計比例對照

六、總結

通過以上討論和計算，可以得出以下結論：

1、在沒轉換成標準分之前，各科的分數是不能比較的。

2、用原始分高出平均分多少來衡量各科，也是很不科學的。

3、一旦轉換成標準分，不但上述比較變得科學易行，而且各次考試之間也是應該比較的。如Z后次–Z前次=進步幅度。

4、平均分反映整體水平；標準差反映班級整體發展平衡程度；標準分反映學生個體各科發展的平衡程度。

4、分段比例和累計比例是學生成績合理分布的評估依據。

5、統計數據與理論數據之差A1，A2，A3，A4，A5之和ΣAi是刻劃合理分布程度的依據。

6、任何一次大型考試，不但要公布“平均分”，而且要公布“標準差”。這兩個參數都是十分重要的。這樣，各校，各班，個人在這個大系統中的地位都可以很容易的算出。

七、結束語

教學效果的評估，是“終端評估”，是教學管理的重要環節，它的合理性和準確度不但體現在變定性評估為定量評估，而且還依賴于教學“過程評估”的合理性。如試卷的難易程度，評卷的準確性與公正性，還有學生平時成績的評定，考場紀律等。這都需要長期摸索和認真細致的統計分析。多年來，我們本著以抓“過程”保“終端”，以抓“終端”促“過程”的原則，在抓教學效果的評估的同時，在試卷評分方面也進行了一些改革和嘗試，如運用美國數學教授T·L·Saaty提出的“層次分析法”和湖南農大的“加權評分法”，收到了一定的效果。

參考文獻：